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valeurs de $n$ de la même qualité, comme nous l’avons démontré ailleurs [Mémoires de Berlin pour l’année 1767, page 194^[1]], d’où il faut conclure que le nombre $7$ est le seul qui puisse satisfaire à la question.

J’avoue, au resté, qu’on peut résoudre le Problème précédent avec plus de facilité par le simple tâtonnement ; car, dès qu’on est parvenu à l’équation

$x^{2}=1171-7y^{2},$

il n’y aura qu’à essayer pour $y$ tous les nombres entiers dont les carrés multipliés par $7$ ne surpasseront pas $1171,$ c’est-à-dire tous les nombres $<{\sqrt {\frac {1171}{7}}}<13.$

Il en est de même de toutes les équations où $\mathrm {A}$ est un nombre négatif ; car, dès qu’on est arrivé à l’équation

$x^{2}=\mathrm {B} +\mathrm {A} y^{2},$

ou, en faisant $\mathrm {A} =-a,$

$x^{2}=\mathrm {B} -ay^{2},$

il est clair que les valeurs satisfaisantes de $y$, s’il y en a, ne pourront se trouver que parmi les nombres $<{\sqrt {\frac {\mathrm {B} }{a}}}.$ Aussi n’ai-je donné des méthodes particulières, pour le cas de $\mathrm {A}$ négatif, que parce que ces méthodes ont une liaison intime avec celles qui concernent le cas de $\mathrm {A}$ positif, et que toutes ces méthodes, étant ainsi rapprochées les unes des autres, peuvent se prêter un jour mutuel et acquérir un plus grand degré d’évidence.

Exemple II.

81. Donnons maintenant quelques Exemples pour le cas de $\mathrm {A}$ positif, et soit proposé de trouver tous les nombres entiers qu’on pourra prendre pour $y,$ en sorte que la quantité radicale

${\sqrt {13y^{2}+101}}$

devienne rationnelle.

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 377.