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On aura ici, n^o 64, $\mathrm {A} =13,\ \mathrm {B} =101,$ et l’équation à résoudre en entiers sera

$x^{2}-13y^{2}=101,$

dans laquelle, à cause que $101$ n’est divisible par aucun carré, $y$ sera nécessairement premier à $101.$

On fera donc (n^o 65)

$x=ny-101z,$

et il faudra que $n^{2}-13$ soit divisible par $101,$ en prenant $n<{\frac {101}{2}}<51.$

Je trouve $n=35,$ ce qui donne

$n^{2}=1225,\quad {\text{et}}\quad n^{2}-13=1212=101.12\,;$

ainsi l’on pourra prendre $n=\pm 35,$ et substituant, au lieu de $x,$ $\pm 35y-101z,$ on aura une équation toute divisible par $101,$ qui, la division faite, sera

$12y^{2}\mp 70yz+101z^{2}=1.$

Employons encore, pour résoudre cette équation, la méthode du n^o 70 ; faisons $\mathrm {D} _{1}=12,\ \mathrm {D} =101,\ n=\pm 35\,;$ mais, au lieu de la lettre $\theta ,$ nous conserverons la lettre $y,$ et nous changerons seulement $z$ en $y_{1},$ comme dans l’exemple précédent.

Soit : 1^o $n=35\,;$ on fera le calcul suivant :

${\begin{alignedat}{4}m\ \,=&{\frac {35}{12}}=3,\quad &n_{1}=&35-3.12=-1,\quad &\mathrm {D} _{2}=&{\frac {1-13}{12}}=-1,\quad &y\ \,=&3y_{1}+y_{2},\\m_{1}=&{\frac {-1}{-1}}=1,&n_{2}=&-1+1=0,&\mathrm {D} _{3}=&{\frac {-13}{-1}}=13,&y_{1}=&y_{2}+y_{3}.\end{alignedat}}$

Comme $n_{2}=0$ et conséquemment $<{\frac {\mathrm {D} _{2}}{2}}$ et $<{\frac {\mathrm {D} _{3}}{2}},$ on s’arrêtera ici et l’on aura la transformée

$\mathrm {D} _{3}y_{2}^{2}-2n_{2}y_{2}y_{3}+\mathrm {D} _{2}y_{3}^{2}=1,$

ou bien

$13y_{2}^{2}-y_{3}^{2}=1,$