Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/157

Qu’on suppose donc

$x=ny-101z,$

et il faudra que $n^{2}-79$ soit divisible par $101,$ en prenant $n<{\frac {101}{2}}<51\,;$ on trouve $n=33,$ ce qui donne

$n^{2}-79=1010=101.10.$

Ainsi l’on pourra prendre $n=\pm 33,$ et ces valeurs seront les seules qui aient la condition requise.

Substituant donc $+33y-101z$ à la place de $x,$ et divisant toute l’équation par $101,$ on aura cette transformée

$10y^{2}\mp 66yz+101z^{2}=1.$

On fera donc $\mathrm {\mathrm {D} } _{1}=10,\ \mathrm {D} =101,\ n=\pm 33,$ et, prenant d’abord $n$ en plus, on opérera comme dans l’Exemple précédent ; on aura ainsi

$m={\frac {33}{10}}=3,\quad n_{1}=33-3.10=3,\quad \mathrm {D} _{2}={\frac {9-79}{10}}=-7,\quad y=3y_{1}+y_{2}.$

Or, comme $n_{1}=3$ est déjà $<{\frac {\mathrm {D} _{1}}{2}}$ et $<{\frac {\mathrm {D} _{2}}{2}},$ il ne sera pas nécessaire d’aller plus loin ; ainsi l’on aura la transformée

$-7y_{1}^{2}-6y_{1}y_{2}+10y_{2}^{2}=1,$

laquelle, étant multipliée par $-7,$ pourra se mettre sous cette forme

$(7y_{1}+3y_{2})^{2}-79y_{2}^{2}=-7.$

Puisque donc $7$ est $<{\sqrt {79}},$ si cette équation est résoluble, il faudra que le nombre $7$ se trouve parmi les termes de la série supérieure des nombres qui répondent à ${\sqrt {79}},$ dans la Table du n^o 41, et même que ce nombre $7$ y occupe une place paire, puisqu’il a le signe $-.$ Mais la série dont il s’agit ne renferme que les nombres $1,15,2,$ qui reviennent toujours ; donc on doit conclure sur-le-champ que la dernière équation n’est pas résoluble, et qu’ainsi la proposée ne l’est pas, au moins, d’après la valeur de $n=33.$