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Il ne reste donc qu’à essayer l’autre valeur $n=-33,$ laquelle donnera

$m={\frac {-33}{10}}=-3,\quad n_{1}=-33+3.10=-3,$

$\mathrm {D} _{2}={\frac {-9-79}{10}}=-7,\quad y=-3y_{1}+y_{2},$

de sorte qu’on aura cette autre transformée,

$-7y_{1}^{2}+6y_{1}y_{2}+10y_{2}^{2}=1,$

laquelle se réduit à la forme

$(-7y_{1}-3y_{2})^{2}-79y_{2}^{2}=-7,$

qui est semblable à la précédente ; d’où je conclus que l’équation proposée n’admet absolument aucune solution en nombres entiers.

Remarque.

83. Euler, dans un excellent Mémoire imprimé dans le tome IX des nouveaux Commentaires de Pétersbourg, trouve par induction cette règle, pour juger de la résolubilité de toute équation de la forme

$x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,$

lorsque $\mathrm {B}$ est un nombre premier ; c’est que l’équation doit être possible toutes les fois que $\mathrm {B}$ sera de la forme $4\mathrm {A} n+r^{2},$ ou $4\mathrm {A} n+r^{2}-\mathrm {A} \,;$ mais l’Exemple précédent met cette règle en défaut ; car $101$ est un nombre premier de la forme $4\mathrm {A} n+r^{2}-\mathrm {A} ,$ en faisant $\mathrm {A} =79,\ n=-4$ et $r=38\,;$ cependant l’équation

$x^{2}-79y^{2}=101$

n’admet aucune solution en nombres entiers.

Si la règle précédente était vraie, il s’ensuivrait que, si l’équation

$x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B}$

est possible lorsque $\mathrm {B}$ a une valeur quelconque $b,$ elle le serait aussi en prenant $\mathrm {B} =4\mathrm {A} n+b,$ pourvu que $\mathrm {B}$ fût un nombre premier. On pour-