Ainsi on aura les valeurs demandées de
et
lesquelles renfermeront trois indéterminées
93. Si l’on voulait trouver des formules de quatre dimensions qui eussent les mêmes propriétés que celles que nous venons d’examiner, il faudrait considérer le produit de quatre facteurs de cette forme,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x+&\alpha y&&+\alpha ^{2}z&&+\alpha ^{3}t,\\x+&\beta y&&+\beta ^{2}z&&+\beta ^{3}t,\\x+&\gamma y&&+\gamma ^{2}z&&+\gamma ^{3}t,\\x+&\delta y&&+\delta ^{2}z&&+\delta ^{3}t,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a74a7d3203b5a0419339488889af682da8d0369d)
en supposant que
fussent les racines d’une équation du quatrième degré, telle que celle-ci
![{\displaystyle s^{4}-as^{3}+bs^{2}-cs+d=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129cebac049d0a20afc8f3862e7f2bc9a52109d5)
on aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta +\gamma +\delta =a,\\&\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta =b,\\&\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta =c,\\&\alpha \beta \gamma \delta =d,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aed8460b29ce6537c8765172508a8fd4b20f8cf)
moyennant quoi on pourra déterminer tous les coefficients des différents termes du produit dont il s’agit, sans connaître les racines
en particulier ; mais, comme il faudra faire pour cela différentes réductions qui peuvent ne pas se présenter facilement, on pourra s’y prendre, si on le juge plus commode, de la manière que voici.
Qu’on suppose, en général,
![{\displaystyle x+sy+s^{2}z+s^{3}t=\rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad106079b6db57921e402b5b1e13e9c8c5980f0)
et, comme
est déterminé par l’équation
![{\displaystyle s^{4}-as^{3}+bs^{2}-cs+d=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d818e23518da796dc963d0ef236361fbd2c8cf65)
qu’on chasse
de ces deux équations par les règles connues, et l’équa-