Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/180

Ainsi on aura les valeurs demandées de $\mathrm {X,Y,Z}$ et $\mathrm {V} ,$ lesquelles renfermeront trois indéterminées $x,y,z.$

93. Si l’on voulait trouver des formules de quatre dimensions qui eussent les mêmes propriétés que celles que nous venons d’examiner, il faudrait considérer le produit de quatre facteurs de cette forme,

${\begin{alignedat}{3}x+&\alpha y&&+\alpha ^{2}z&&+\alpha ^{3}t,\\x+&\beta y&&+\beta ^{2}z&&+\beta ^{3}t,\\x+&\gamma y&&+\gamma ^{2}z&&+\gamma ^{3}t,\\x+&\delta y&&+\delta ^{2}z&&+\delta ^{3}t,\end{alignedat}}$

en supposant que $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ fussent les racines d’une équation du quatrième degré, telle que celle-ci

$s^{4}-as^{3}+bs^{2}-cs+d=0\,;$

on aura ainsi

${\begin{aligned}&\alpha +\beta +\gamma +\delta =a,\\&\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta =b,\\&\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta =c,\\&\alpha \beta \gamma \delta =d,\end{aligned}}$

moyennant quoi on pourra déterminer tous les coefficients des différents termes du produit dont il s’agit, sans connaître les racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ en particulier ; mais, comme il faudra faire pour cela différentes réductions qui peuvent ne pas se présenter facilement, on pourra s’y prendre, si on le juge plus commode, de la manière que voici.

Qu’on suppose, en général,

$x+sy+s^{2}z+s^{3}t=\rho ,$

et, comme $s$ est déterminé par l’équation

$s^{4}-as^{3}+bs^{2}-cs+d=0,$

qu’on chasse $s$ de ces deux équations par les règles connues, et l’équa-