on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \ \,&=\mathrm {A_{1}\alpha \ \,-B_{1}\alpha +C_{1}} ,\\\alpha ^{2}&=\mathrm {A_{2}\alpha ^{2}-B_{2}\alpha +C_{2}} ,\\\alpha ^{3}&=\mathrm {A_{3}\alpha ^{2}-B_{3}\alpha +C_{3}} ,\\\alpha ^{4}&=\mathrm {A_{4}\alpha ^{2}-B_{4}\alpha +C_{4}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d5d87432dd496d1d0f45771c8a2b4c779404ac)
Substituant donc ces valeurs dans l’expression de
![{\displaystyle \left(x+\alpha y+\alpha ^{2}z\right)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f24bb81aeb5f133371d45a7ac2b21b2fbe1fe23)
elle se trouvera composée de trois parties, l’une toute rationnelle, l’autre toute multipliée par
et la troisième toute multipliée par
ainsi il n’y aura qu’à comparer la première à
la deuxième à
et la troisième à
et l’on aura par ce moyen
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {X=P+P_{1}C_{1}+P_{2}C_{2}+P_{3}C_{3}+P_{4}C_{4}} +\ldots ,\\&\mathrm {Y=-P_{1}B_{1}-P_{2}B_{2}-P_{3}B_{3}-P_{4}B_{4}} -\ldots ,\\&\mathrm {Z=P_{1}A_{1}+P_{2}A_{2}+P_{3}A_{3}+P_{4}A_{4}} +\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6f597cda639bdf75fb6006afc94ec9ace6ac50)
Ces valeurs satisferont donc à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {X+\alpha Y+\alpha ^{2}Z} =\left(x+\alpha y+\alpha ^{2}z\right)^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f33e007ce89764ab5b48bee21e7e592e559f773)
et, comme la racine
n’entre point en particulier dans les expressions de
et
il est clair qu’on pourra changer
en
ou en
de sorte qu’on aura également
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {X+\beta Y+\beta ^{2}Z} =\left(x+\beta y+\beta ^{2}z\right)^{m},\\&\mathrm {X+\gamma Y+\gamma ^{2}\,Z} =\left(x+\gamma y+\gamma ^{2}z\right)^{m}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8eb9d2526b8e8f0f665100a5236f9e6491031b2)
Or, multipliant ensemble ces trois équations, il est visible que le premier membre sera le même que celui de l’équation proposée, et que le second sera égal à une puissance
dont la racine étant nommée
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} =x^{3}&+ax^{2}y+\left(a^{2}-2b\right)x^{2}z+bxy^{2}+(ab-3c)xyz\\&+\left(b^{2}-2ac\right)xz^{2}+cy^{3}+acy^{2}z+bcyz^{2}+c^{2}z^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d71af714bb18a7a3123f7cf73dd5acbbf96125)