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a exprimée par cette fraction ; de sorte que, si l’on s’arrête successivement à chaque terme de la fraction, on aura une suite de quantités qui seront nécessairement convergentesvers la quantité proposée.

Ainsi, ayant réduit la valeur de $a$ à la fraction continue

$\alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{\delta +\ddots }}}}}},$

on aura les quantités

$\alpha ,\quad \alpha +{\frac {1}{\beta }},\quad \alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma }}}},\quad \ldots ,$

ou bien, en réduisant,

$\alpha ,\quad {\frac {\alpha \beta +1}{\beta }},\quad {\frac {\alpha \beta \gamma +\alpha +\gamma }{\beta \gamma +1}},\quad \ldots ,$

qui approcheront de plus en plus de la valeur de $a$.

Pour pouvoir mieux juger de la loi et de la convergence de ces quantités, nous remarquerons que, par les formules du n^o 3, on a

$a=\alpha +{\frac {1}{b}},\quad b=\beta +{\frac {1}{c}},\quad c=\gamma +{\frac {1}{d}},\quad \ldots ,$

d’où l’on voit d’abord que $\alpha$ est la première valeur approchée de $a\,;$ qu’ensuite, si l’on prend la valeur exacte de $a,$ qui est ${\frac {\alpha b+1}{b}},$ et qu’on y substitue pour $b$ sa valeur approchée $\beta ,$ on aura cette valeur plus approchée ${\frac {\alpha \beta +1}{\beta }}\,;$ qu’on aura de même une troisième valeur plus approchée de $a,$ en mettant d’abord pour $b$ sa valeur exacte ${\frac {\beta c+1}{c}},$ ce qui donne $a={\frac {(\alpha \beta +1)c+\alpha }{\beta c+1}},$ et prenant ensuite pour $c$ la valeur approchée $\gamma \,;$