par ce moyen la nouvelle valeur approchée de
sera
![{\displaystyle {\frac {(\alpha \beta +1)\gamma +\alpha }{\beta \gamma +1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628f92dcfd043b32ff8b871b1bdc0d51f9f79459)
continuant le même raisonnement, on pourra approcher davantage, en mettant, dans l’expression de
trouvée ci-dessus, à la place de
sa valeur exacte
ce qui donnera
![{\displaystyle a={\frac {\left[(\alpha \beta +1)\gamma +\alpha \right]d+\alpha \beta +1}{(\beta \gamma +1)d+\beta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047c29471326bdc020d304199a0346b63daa15cc)
et prenant ensuite pour
sa valeur approchée
de sorte qu’on aura pour la quatrième approximation la quantité
![{\displaystyle {\frac {\left[(\alpha \beta +1)\gamma +\alpha \right]\delta +\alpha \beta +1}{(\beta \gamma +1)\delta +\beta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc80854a0616b3f81e8f217b429c9746956bf14c)
et ainsi de suite.
De là il est facile de voir que, si par le moyen des nombres,
on forme les expressions suivantes
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} =&\alpha ,&\mathrm {A} _{1}=&1,\\\mathrm {B} =&\beta \mathrm {A} +1,&\mathrm {B} _{1}=&\beta ,\\\mathrm {C} =&\gamma \mathrm {B+A} ,&\mathrm {C} _{1}=&\gamma \mathrm {B_{1}+A_{1}} ,\\\mathrm {D} =&\delta \mathrm {C+B} ,&\mathrm {D} _{1}=&\delta \mathrm {C_{1}+B_{1}} ,\\\mathrm {E} =&\varepsilon \mathrm {D+C} ,\qquad &\mathrm {E} _{1}=&\varepsilon \mathrm {D_{1}+C_{1}} ,\\.\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdead0686c790f2ceb747038ca53033a285d4a92)
on aura cette suite de fractions convergentes vers la quantité ![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\ \ {\frac {B}{B_{1}}},\ \ {\frac {C}{C_{1}}},\ \ {\frac {D}{D_{1}}},\ \ {\frac {E}{E_{1}}},\ \ {\frac {F}{F_{1}}}} ,\ \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e1d831cd95a73178d3ec8f04bb70f61da12719)
Si la quantité
est rationnelle, et représentée par une fraction quelconque
il est évident que cette fraction sera toujours la dernière