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par ce moyen la nouvelle valeur approchée de $a$ sera

${\frac {(\alpha \beta +1)\gamma +\alpha }{\beta \gamma +1}}\,;$

continuant le même raisonnement, on pourra approcher davantage, en mettant, dans l’expression de $a$ trouvée ci-dessus, à la place de $c$ sa valeur exacte ${\frac {\gamma d+1}{d}},$ ce qui donnera

$a={\frac {\left[(\alpha \beta +1)\gamma +\alpha \right]d+\alpha \beta +1}{(\beta \gamma +1)d+\beta }}\,;$

et prenant ensuite pour $d$ sa valeur approchée $\delta ,$ de sorte qu’on aura pour la quatrième approximation la quantité

${\frac {\left[(\alpha \beta +1)\gamma +\alpha \right]\delta +\alpha \beta +1}{(\beta \gamma +1)\delta +\beta }},$

et ainsi de suite.

De là il est facile de voir que, si par le moyen des nombres, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ on forme les expressions suivantes

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} =&\alpha ,&\mathrm {A} _{1}=&1,\\\mathrm {B} =&\beta \mathrm {A} +1,&\mathrm {B} _{1}=&\beta ,\\\mathrm {C} =&\gamma \mathrm {B+A} ,&\mathrm {C} _{1}=&\gamma \mathrm {B_{1}+A_{1}} ,\\\mathrm {D} =&\delta \mathrm {C+B} ,&\mathrm {D} _{1}=&\delta \mathrm {C_{1}+B_{1}} ,\\\mathrm {E} =&\varepsilon \mathrm {D+C} ,\qquad &\mathrm {E} _{1}=&\varepsilon \mathrm {D_{1}+C_{1}} ,\\.\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

on aura cette suite de fractions convergentes vers la quantité $a$

$\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\ \ {\frac {B}{B_{1}}},\ \ {\frac {C}{C_{1}}},\ \ {\frac {D}{D_{1}}},\ \ {\frac {E}{E_{1}}},\ \ {\frac {F}{F_{1}}}} ,\ \ldots .$

Si la quantité $a$ est rationnelle, et représentée par une fraction quelconque $\mathrm {\frac {V}{V_{1}}} ,$ il est évident que cette fraction sera toujours la dernière