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d’après la théorie des équations qu’on vous a exposée, on a sur-le-champ l’équation

$x^{2}-ax+b=0.$

Voici comment Diophante s’y prend la somme des deux nombres étant donnée, il en cherche la différence, et il prend cette différence pour l’inconnue. Il exprime ainsi les deux nombres, l’un par la moitié de la somme plus la moitié de la différence, l’autre par la moitié de la somme moins la moitié de la différence, et il n’a plus qu’à satisfaire à l’autre condition, c’est-à-dire à égaler leur produit au nombre donné. Nommant $a$ la somme donnée, $x$ la différence inconnue, l’un des nombres sera ${\frac {a+x}{2}},$ et l’autre sera ${\frac {a-x}{2}}\,;$ en les multipliant ensemble, on a ${\frac {a^{2}-x^{2}}{4}},$ de manière que le terme en $x$ disparaît, et qu’en égalant cette quantité au produit donné $b,$ on a l’équation simple

${\frac {a^{2}-x^{2}}{4}}=b,$

d’où l’on tire .

$x^{2}=a^{2}-4b,$

et de là

$x={\sqrt {a^{2}-4b}}.$

Diophante résout encore quelques autres questions du même genre ; en employant à propos la somme ou la différence pour inconnue, il parvient toujours à une équation dans laquelle il n’a qu’à extraire une racine carrée pour avoir la solution de son problème.

Mais, dans les livres qui nous sont restés (car tout l’Ouvrage de Diophante ne nous est pas parvenu), il ne va pas au delà des équations du second degré, et nous ignorons si lui ou quelqu’un de ses successeurs (car il ne nous est parvenu aucun autre Ouvrage sur cette matière) a été au delà des équations du second degré.

Je ferai encore une remarque à l’occasion de l’Ouvrage de Diophante c’est qu’il établit en définition ce principe, que $+$ par $-$ fait $-,$ et $-$ par $-$ fait $+\,;$ mais je pense que c’est une faute des copistes ; car il