Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/230

expression où l’on voit que le radical carré qui est sous le signe cubique se trouve également en plus et en moins, de sorte qu’il ne peut y avoir de ce côté-là aucune ambiguïté. C’est l’expression connue sous le nom de formule de Cardan, et à laquelle toutes les méthodes qu’on a pu imaginer jusqu’ici pour le séquations du troisième degré ont toujours conduit. Comme les radicaux cubes ne présentent naturellement qu’une seule valeur, on a été longtemps dans l’idée que cette formule ne pouvait donner qu’une des racines de l’équation, et, pour trouver les deux autres, on revenait à l’équation primitive qu’on divisait par $x$ $a,$ en supposant a la racine trouvée ; et, le quotient étant une équation du second degré, on la résolvait à la manière ordinaire. En effet, cette division est non-seulement toujours possible, mais même très-facile ; car, dans le cas proposé, l’équation étant

$x^{3}+px+q=0,$

si $a$ est une des racines, on aura

$a^{3}+pa+q=0\,;$

cette équation, soustraite de la précédente, donnera

$x^{3}-a^{3}+p(x-a)=0,$

quantité divisible par $x-a,$ et qui donnera pour quotient

$x^{2}+ax+a^{2}+p=0\,;$

de sorte que la nouvelle équation à résoudre pour avoir les deux autres racines sera

$x^{2}+ax+a^{2}+p=0,$

d’où il est aisé de tirer

$x=-{\frac {a}{2}}\pm {\sqrt {-p-{\frac {3a^{2}}{4}}}}.$

Je vois par l’Algèbre de Clairaut, imprimée en 1746, et par l’article Cas irréductible de d’Alembert dans la première Encyclopédie, que cette idée subsistait encore à cette époque-là ; mais c’est faire tort à l’Algèbre