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de la substituer dans lâ second, et de faire évanouir par la multiplication les fractions, ce qui donne cette équation en $y$ du sixième degré, qu’on appelle la réduite,

$y^{6}+qy^{3}-{\frac {p^{3}}{27}}=0,$

laquelle, ne contenantque deux puissances de l’inconnue ; dont l’une est le carré de l’autre, est résoluble à la manière de celles du second degré, et donne sur-le-champ

$y^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}},$

d’où, en extrayant la racine cubique, on a

$y={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},$

et de là

$x=y+z=y-{\frac {p}{3y}}.$

On rend cette expression de $y$ plus simple, en remarquant que le produit de $y$ par le radical

${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$

est, en multipliant ensemble les quantités sous le signe,

${\sqrt[{3}]{-{\frac {p^{3}}{27}}}}=-{\frac {p}{3}}.$

d’où il suit que le terme ${\frac {p}{3y}}$ devient

$-{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},$

et que, par conséquent, on a

$x={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},$