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nous en avons déduit de suite

$y={\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}\,;$

mais, par ce que nous venons de démontrer, il est clair qu’on aura non-seulement

$y={\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }},$

mais encore

$y=m{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}\quad {\text{et}}\quad y=n{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}\,;$

donc la racine $x$ de l’équation du troisième degré, que nous avons trouvée égale à

$y-{\frac {p}{3y}},$

aura aussi ces trois valeurs

${\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}-{\frac {p}{3{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}}},\quad m{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}-{\frac {p}{3m{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}}},\quad n{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}-{\frac {p}{3n{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}}},$

qui seront par conséquent les trois racines de l’équation proposée. Mais en faisant

$\mathrm {B} =-{\frac {q}{2}}-{\sqrt[{3}]{{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}},$

il est clair que

$\mathrm {AB} =-{\frac {p^{3}}{27}},$

donc

${\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}\times {\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }}=-{\frac {p}{3}}\,;$

mettant donc ${\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }}$ à la place de $-{\frac {p}{3{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}}},$ et remarquant de plus que $mn=1,$ et par conséquent

${\frac {1}{m}}=n,\quad {\frac {1}{n}}=m,$

les trois racines dont il s’agit seront exprimées ainsi

$x={\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+{\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }},\quad x=m{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+n{\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }},\quad x=n{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+m{\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }}.$

On voit par là que la méthode ordinaire, bien entendue, donne direc-