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tement les trois racines, et n’en donne que trois ; j’ai cru ce lietit détail nécessaire, parce que, si d’un côté on a longtemps accusé cette méthode de ne donner qu’une seule racine, de l’autre, lorsqu’on eut aperçu qu’elle pouvait en donner trois, on crut qu’elle en devait donner six, en employant faussement toutes les combinaisons possibles des trois racines cubiques de l’unité $1,m,n,$ avec les deux radicaux cubiques ${\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}$ et ${\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }}.$

On aurait pu parvenir directement aux résultats que nous venons de trouver, en remarquant que les deux équations

$y^{3}+z^{3}+q=0\quad {\text{et}}\quad 3yz+p=0$

donnent

$y^{3}+z^{3}=-q\quad {\text{et}}\quad y^{3}z^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}\,;$

d’où l’on voit sur-le-champ que $y^{3}$ et $z^{3}$ sont les racines d’une équation du second degré, dont le second terme sera $q,$ et le troisième $-{\frac {p^{3}}{27}}.$ Cette équation, qu’on appelle la réduite, sera donc

$u^{2}+qu-{\frac {p^{3}}{27}}=0,$

et, nommant $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ ses deux racines, on aura tout de suite

$y={\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }},\quad {\text{et}}\quad z={\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }},$

où l’on observera qu’en effet $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ auront les mêmes valeurs que nous avons assignées plus haut à ces mêmes lettres. Or, par ce que nous avons démontré ci-dessus, on aura également

$y=m{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}\quad {\text{ou}}\quad =n{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }},$

et il en sera de même de la valeur de $z\,;$ mais l’équation

$zy=-{\frac {p}{3}},$

dont nous n’avons employé que le cube, limite ces valeurs, et il est aisé