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comme il est aisé de s’en assurer par la multiplication actuelle ; or nous avons déjà vu que les deux quantités $a+b$ et $ab$ sont nécessairement réelles, d’où

$2a^{2}+2b^{2}+5ab=2(a+b)^{2}+ab$

sera aussi nécessairement une quantité réelle ; donc l’autre facteur $a-b$ sera réel aussi, lorsque le radical ${\sqrt {-27q^{2}-4p^{3}}}$ est réel ; donc, $a+b$ et $a-b$ étant des quantités réelles, il s’ensuit que $a$ et $b$ seront l’un et l’autre réels. Nous avions déjà démontré plus haut ces théorèmes d’après la forme même des racines ; mais la démonstration présente est, à quelques égards, plus générale et plus directe, étant tirée des principes de la chose. On n’a rien supposé, et la condition du cas irréductible n’a point introduit d’imaginaires ; mais il faut trouver les valeurs de $a$ et $b$ au moyen des équations ci-dessus. Pour cela, j’observe que le premier membre de l’équation

$a^{3}-b^{3}+{\frac {3}{2}}\left(a^{2}b-ab^{2}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {-27q^{2}-4p^{3}}}$

peut devenir un cube parfait, en y ajoutant le premier membre de l’équation

$ab(a+b)=q,$

multipliée par ${\frac {3{\sqrt {-3}}}{2}},$ et la racine de ce cube sera

${\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}b-{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}a\,;$

de sorte qu’extrayant la racine cubique de part et d’autre, on aura la quantité

${\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}b-{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}a$

exprimée en quantités connues ; et, comme le radical ${\sqrt {-3}}$ peut aussi être pris en $-,$ on aura aussi la quantité

${\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}b-{\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}a$