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Comme l’équation est d’un degré impair, on est assuré, ainsi que vous l’avez déjà vu, et que vous le verrez encore dans la Leçon qui suivra celle-ci, qu’elle a nécessairement une racine réelle. Soit $c$ cette racine ; la première des trois équations qu’on vient de trouver donnera

$c=-a-b,$

d’où l’on voit d’abord que $a+b$ sera nécessairement aussi une quantité réelle ; cette valeur de $c,$ substituée dans la seconde et la troisième, donnera

$ab-a^{2}-ab-ab-b^{2}=p,\quad -ab(a+b)=-q,$

savoir

$a^{2}+ab+b^{2}=-p,\quad ab(a+b)=q,$

d’où il faudrait tirer $a$ et $b\,;$ la dernière donne $ab={\frac {q}{a+b}},$ d’où je conclus que $ab$ sera nécessairement aussi une quantité réelle. Considérons maintenant la quantité ${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}},$ ou bien, en faisant disparaître les fractions, la quantité $27q^{2}+4p^{3},$ du signe de laquelle dépend le cas irréductible en y substituant pour $p$ et $q$ leurs valeurs ci-dessus en $a$ et $b,$ on trouvera, après les réductions, que cette quantité devient égale au carré de

$2a^{3}-2b^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}$

pris négativement ; de sorte que, en changeant les signes et extrayant la racine carrée, on aura

$2a^{3}-2b^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}={\sqrt {-27q^{2}-4p^{3}}},$

d’où il est d’abord aisé de conclure que les deux racines $a$ et $b$ ne sauraient être réelles, à moins que la quantité $27q^{2}+4p^{3}$ ne soit négative ; mais je vais démontrer que, dans ce cas, qui est, comme on voit, le cas irréductible, les deux racines $a$ et $b$ seront nécessairement réelles ; car la quantité

$2a^{3}-2b^{3}+3a^{2}b-3ab^{2}$

se réduit à cette forme,

$(a-b)\left(2a^{2}+2b^{2}+5ab\right),$