les deux premières équations donnent
ces valeurs étant substituées dans la dernière on aura une équation en du sixième degré, mais qui, ne contenant que les puissances paires de sera résoluble comme celles du troisième. Au reste, si dans cette équation on substitue pour on aura la même réduite en que nous avons trouvée ci-dessus par l’ancienne méthode.
Ayant ainsi la valeur de on aura celles de et et la proposée se trouvera décomposée en deux équations du second degré, qui donneront les quatre racines cherchées. Cette méthode, ainsi que la précédente, donne lieu à un doute-qui vient de ce que la réduite en ou en étant du troisième degré, doit avoir trois racines, de sorte qu’on pourrait être incertain laquelle de ces trois racines il faudrait employer ; cette difficulté se trouve bien résolue dans l’Algèbre de Clairaut, où l’on fait voir d’une manière directe que l’on a toujours les mêmes quatre racines ou valeurs de quelle que soit la racine de la réduite qu’on emploie. Mais cette généralité inutile nuit à la simplicité qu’on peut désirer dans l’expression des racines de l’équation proposée, et l’on doit préférer les formules que l’on vous a données dans le cours principal, et où les trois racines de la réduite entrent également. Voici encore une manière de parvenir à ces mêmes formules, moins directe que celle qui vous a déjà été exposée, mais qui, d’un autre côté, a l’avantage d’être analogue à celle de Cardan, pour les équations du troisième degré.
Je reprends l’équation
et j’y suppose
j’aurai d’abord
