ensuite, carrant de nouveau, j’ai
![{\displaystyle x^{4}=\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)^{2}+4\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)(yz+yt+zt)+4(yz+yt+zt)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be36ecc95c2a71b88ea1a1b1ebf113e1442a2f10)
or
![{\displaystyle {\begin{aligned}(yz+yt+zt)^{2}=&y^{2}z^{2}+y^{2}t^{2}+z^{2}t^{2}+2y^{2}zt+2yz^{2}t+2yzt^{2}\\=&y^{2}z^{2}+y^{2}t^{2}+z^{2}t^{2}+2yzt(y+z+t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ed63d848dedcd5a37becbbbd39e9494f4bd55b)
Je substitue ces valeurs de
dans la proposée, et je mets ensemble les termes qui se trouvent multipliés par
ainsi que par
j’ai la transformée
![{\displaystyle \left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)^{2}+p\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)+\left[4\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)+2p\right](yz+yt+zt)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77fd5ad9234a28f1191a8dead4186e3317e5cef)
![{\displaystyle +4\left(y^{2}z^{2}+y^{2}t^{2}+z^{2}t^{2}\right)+(8yzt+q)(y+z+t)+r=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8117153858b93d2f8af031b5dfa3ee1a0e0460b2)
Maintenant, comme pour les équations du troisième degré nous avons fait évanouir les termes qui contenaient
nous ferons de même disparaître ici les termes qui contiennent
![{\displaystyle y+z+t\quad {\text{et}}\quad yz+yt+zt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a28ed8540842ce1aa2cbe93060596782e898c6)
ce qui nous donnera les deux équations de condition
![{\displaystyle 8yzt+q=0\quad {\text{et}}\quad 4\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)+2p=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c0682a3c90c42d92b743a76276b43cb6ba03c2)
il restera alors l’équation
![{\displaystyle \left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)^{2}+p\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)+4\left(y^{2}z^{2}+y^{2}t^{2}+z^{2}t^{2}\right)+r=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ad6e6ca0ebf28ba86f204ddf66e71693506225)
et ces trois équations détermineront les trois quantités
La seconde donne d’abord
![{\displaystyle y^{2}+z^{2}+t^{2}=-{\frac {p}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f597984551b44a24d3483edfa9564edd1115fa56)
et, cette valeur étant substituée dans la troisième, on aura
![{\displaystyle y^{2}z^{2}+y^{2}t^{2}+z^{2}t^{2}={\frac {p^{2}}{16}}-{\frac {r}{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670960d2e2e897378bdfb5644fe6a633217a1298)