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ensuite, carrant de nouveau, j’ai

$x^{4}=\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)^{2}+4\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)(yz+yt+zt)+4(yz+yt+zt)^{2}\,;$

or

${\begin{aligned}(yz+yt+zt)^{2}=&y^{2}z^{2}+y^{2}t^{2}+z^{2}t^{2}+2y^{2}zt+2yz^{2}t+2yzt^{2}\\=&y^{2}z^{2}+y^{2}t^{2}+z^{2}t^{2}+2yzt(y+z+t).\end{aligned}}$

Je substitue ces valeurs de $x,x^{2},x^{4}$ dans la proposée, et je mets ensemble les termes qui se trouvent multipliés par $y+z+t,$ ainsi que par $yz+yt+zt\,;$ j’ai la transformée

$\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)^{2}+p\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)+\left[4\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)+2p\right](yz+yt+zt)$

$+4\left(y^{2}z^{2}+y^{2}t^{2}+z^{2}t^{2}\right)+(8yzt+q)(y+z+t)+r=0.$

Maintenant, comme pour les équations du troisième degré nous avons fait évanouir les termes qui contenaient $y+z,$ nous ferons de même disparaître ici les termes qui contiennent

$y+z+t\quad {\text{et}}\quad yz+yt+zt,$

ce qui nous donnera les deux équations de condition

$8yzt+q=0\quad {\text{et}}\quad 4\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)+2p=0\,;$

il restera alors l’équation

$\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)^{2}+p\left(y^{2}+z^{2}+t^{2}\right)+4\left(y^{2}z^{2}+y^{2}t^{2}+z^{2}t^{2}\right)+r=0,$

et ces trois équations détermineront les trois quantités $y,z,t.$ La seconde donne d’abord

$y^{2}+z^{2}+t^{2}=-{\frac {p}{2}},$

et, cette valeur étant substituée dans la troisième, on aura

$y^{2}z^{2}+y^{2}t^{2}+z^{2}t^{2}={\frac {p^{2}}{16}}-{\frac {r}{4}}.$