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car, puisque $\gamma =\pm 1$ on aura (n^o 10)

$c=\pm 1+{\frac {1}{d}},\quad {\text{et}}\quad c-{\frac {1}{d}}=\pm 1\,;$

or, comme $c$ et $d$ sont des quantités $>1$ (n^o 3), il est clair que cette équation ne pourra subsister, à moins que $c$ et $d$ ne soient de même signe ; donc, puisque $\gamma$ et $\delta$ sont les valeurs entières approchées de $c$ et $d,$ ces nombres et devront être aussi de même signe ; mais la fraction $\mathrm {{\frac {C}{B}}=\gamma +{\frac {A}{B}}}$ doit être de même signe que $\gamma ,$ à cause que $\gamma$ est un nombre entier, et $\mathrm {\frac {A}{B}}$ une fraction $<1\,;$ donc $\mathrm {\frac {C}{B}}$ et $\delta$ seront des quantités de même signe ; par conséquent $\mathrm {\frac {\delta C}{B}}$ sera une quantité positive. Or on a $\mathrm {{\frac {D}{C}}=\delta +{\frac {B}{C}}} \,;$ donc, multipliant par $\mathrm {\frac {C}{B}} ,$ on aura $\mathrm {{\frac {D}{B}}=\delta {\frac {C}{B}}} +1\,;$ donc, $\mathrm {\frac {\delta C}{B}}$ étant une quantité positive, il est clair que $\mathrm {\frac {D}{B}}$ sera $>1\,;$ donc $\mathrm {D>B} .$

De là on voit que, s’il arrive que dans la série $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ il se trouve un terme qui soit moindre que le précédent, le terme suivant sera nécessairement plus grand ; de sorte qu’en mettant à part ces termes plus petits la série ne laissera pas d’aller en augmentant.

Au reste on pourra toujours éviter, si l’on veut, cet inconvénient, soit en prenant les nombres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ tous positifs, soit en les prenant tous différents de l’unité, ce qui est toujours possible.

On fera les mêmes raisonnements par rapport à la série $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}} ,\ldots ,$ dans laquelle on a pareillement

$\mathrm {{\frac {B_{1}}{A_{1}}}=\beta ,\quad {\frac {C_{1}}{B_{1}}}=\gamma +{\frac {A_{1}}{B_{1}}},\quad {\frac {D_{1}}{C_{1}}}=\delta +{\frac {B_{1}}{C_{1}}}} ,\quad \ldots ,$

d’où l’on déduira des conclusions semblables aux précédentes.

12. Maintenant, si l’on multiplie en croix les termes des fractions voisines dans la série $\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},{\frac {B}{B_{1}}},{\frac {C}{C_{1}}}} ,\ldots ,$ on trouvera

$\mathrm {BA_{1}-AB_{1}=1,\quad CB_{1}-BC_{1}=AB_{1}-BA_{1},\quad DC_{1}-CD_{1}=BC_{1}-CB_{1}} ,\quad \ldots .$