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dans la série précédente, puisque dans ce cas la fraction continue sera terminée, et que la dernière fraction de la série ci-dessus doit toujours équivaloir à toute la fraction continue.

Mais, si la quantité $a$ est irrationnelle ou transcendante, alors, la fraction continue allant nécessairement à l’infini, on pourra aussi pousser à l’infini la série des fractions convergentes.

11. Examinons maintenant la nature de ces fractions ; et d’abord il est visible que les nombres $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ doivent aller en augmentant, aussi bien que les nombres $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}} \ldots ,$ car :

1^o Si les nombres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont tous positifs, les nombres $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ et $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}} ,\ldots$ seront aussi tous positifs, et l’on aura évidemment $\mathrm {B>A,\ C>B,\ D>C} ,\ldots$ et $\mathrm {B} _{1}=$ ou $>\mathrm {A_{1},\ C_{1}>B_{1},\ D_{1}>C_{1}} ,\ldots .$

2^o Si les nombres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont tous ou en partie négatifs, alors, parmi les nombres $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ et $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}} ,\ldots ,$ il y en aura de positifs et de négatifs ; mais, dans ce cas, on considérera que l’on a, en général, par les formules précédentes,

$\mathrm {{\frac {B}{A}}=\beta +{\frac {1}{\alpha }},\quad {\frac {C}{B}}=\gamma +{\frac {A}{B}},\quad {\frac {D}{C}}=\delta +{\frac {B}{C}}} ,\quad \ldots ,$

d’où l’on voit d’abord que, si les nombres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont différents de l’unité, quels que soient d’ailleurs leurs signes, on aura nécessairement, en faisant abstraction des signes, $\mathrm {\frac {B}{A}} >1\,;$ donc, $\mathrm {\frac {A}{B}} <1,$ par conséquent $\mathrm {\frac {C}{B}} >1,$ et ainsi de suite ; donc $\mathrm {B>A,\ C>B} ,\ldots .$

Il n’y aura d’exception que lorsque, parmi les nombres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ il s’en trouvera d’égaux à l’unité ; supposons, par exemple, que le nombre $\gamma$ soit le premier qui soit égal à $\pm 1\,;$ on aura d’abord $\mathrm {B>A} ,$ mais $\mathrm {C<B} ,$ s’il arrive que la fraction $\mathrm {\frac {A}{B}}$ soit de signe différent de $\gamma \,;$ ce qui est clair par l’équation $\mathrm {{\frac {C}{B}}=\gamma +{\frac {A}{B}}} \,;$ parce que dans ce cas $\gamma +\mathrm {\frac {A}{B}}$ sera un nombre $<1\,;$ or je dis qu’alors on aura nécessairement $\mathrm {D>B} \,;$