Par la même raison, il ne pourra y avoir d’intersection sans que, en deçà et au delà du point d’intersection, il n’y ait des points de la courbe placés des deux côtés, comme les points par rapport à l’intersection Mais deux intersections, comme et pourraient se rapprocher au point de se réunir en alors la branche prendrait la forme de la ligne ponctuée et toucherait l’axe en de manière qu’elle serait toute au-dessus de l’axe ; c’est le cas où les deux racines deviendraient égales. Si trois intersections se réunissaient, ce qui a lieu dans le cas de trois racines égales, alors la courbe couperait de nouveau l’axe, comme dans le cas d’une seule intersection, et ainsi de suite.
Donc, si l’on a trouvé deux valeurs de de même signe, on sera assuré qu’entre les deux valeurs de qui y répondent il ne pourra tomber qu’un nombre pair de racines de l’équation proposée, c’est-à-dire qu’il n’y en aura aucune, ou qu’il y en aura deux ou quatre, etc. Au contraire, si l’on a trouvé deux valeurs de de signes différents, on sera assuré qu’entre les valeurs correspondantes de il tombera nécessairement un nombre impair de racines de la proposée, c’est-à-dire une, ou trois, ou cinq, etc., de sorte que, dans ce dernier cas, on en conclura sur-le-champ qu’il y aura au moins une racine de la proposée entre les deux valeurs de .
Réciproquement toute valeur de qui sera une racine de l’équation se trouvera entre des valeurs plus grandes et plus petites qui, étant prises pour rendront les valeurs correspondantes de de signe contraire.
Mais cela n’aurait point lieu si la valeur de était une racine double, c’est-à-dire, si l’équation contenait deux racines de cette même valeur. Au contraire, si la même valeur était une racine triple, il y aurait de même des valeurs plus grandes et plus petites qui rendraient les valeurs de de signes différents, et ainsi de suite.
Maintenant, si l’on considère l’équation de la courbe, il est d’abord visible qu’en y faisant on aura de sorte que le signe de l’ordonnée sera le même que celui de la quantité dernier terme de l’équation proposée. Ensuite il est aisé de voir qu’on y peut donner
