neront les racines de l’équation proposée (B)
car, comme cette équation n’a lieu que lorsque devient zéro dans l’équation de la courbe, les valeurs de qui satisfont à l’équation dont il s’agit et qui en sont les racines, ne pourront être que les abscisses qui répondent au point où les ordonnées sont nulles, c’est-à-dire où la courbe coupe l’axe Ainsi, en supposant que la courbe de l’équation en et soit celle de la fig. 1, les racines de l’équation proposée seront
Je donne le signe à ces dernières, parce que les intersections tombent de l’autre côté du point La considération de la courbe dont il s’agit donne lieu à des remarques générales sur les équations :
1o Comme l’équation de la courbe ne contient que des puissances entières et positives de l’inconnue il est clair qu’à chaque valeur de répondra une valeur déterminée de et que cette valeur sera unique et finie tant que sera fini ; mais, comme rien ne limite les valeurs de elles pourront être supposées infiniment grandes, tant positives que négatives, et il leur répondra aussi des valeurs de infiniment grandes ; d’où il suit que la courbe aura un cours continu et simple, et qu’elle pourra s’étendre à l’infini de côté et d’autre de l’origine
2o Il suit aussi de là que la courbe ne pourra passer d’un côté de l’axe à l’autre sans le couper, et qu’elle ne pourra revenir du même côté qu’après l’avoir coupé deux fois. Par conséquent, entre deux points de la courbe placés du même côté de l’axe, il y aura nécessairement un nombre pair d’intersections ; comme entre les points et on voit deux intersections en et et entre les points et on en voit quatre en et ainsi de suite. Au contraire, entre deux points placés l’un d’un côté et l’autre de l’autre côté de l’axe, la courbe aura un nombre impair d’intersections ; comme entre les points et il y a une intersection en entre les points et il y a trois intersections en et ainsi du reste.
