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l’équation ne pourra se trouver. Pour cela, supposons d’abord $x$ positif, et que $k$ soit le plus grand des coefficients des termes négatifs ; si l’on fait $x=k+1,$ on aura

$x^{m}=(k+1)^{m}=k(k+1)^{m-1}+(k+1)^{m-1}\,;$

or

$(k+1)^{m-1}=k(k+1)^{m-2}+(k+1)^{m-2},$

et de même

$(k+1)^{m-2}=k(k+1)^{m-3}+(k+1)^{m-3},$

et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura

$(k+1)^{m}=k(k+1)^{m-1}+k(k+1)^{m-2}+k(k+1)^{m-3}+\ldots +k+1.$

Or cette quantité est évidemment plus grande que la somme de tous les termes négatifs de l’équation pris positivement, et en y faisant $x=k+1\,;$ donc la suppositionde $x=k+1$ rendra nécessairement le premier $x^{m}$ plus grand que la somme de tous les termes négatifs ; par conséquent la valeur de $y$ sera du même signe que $x$.

Le même raisonnement et le même résultat auront lieu pour le cas de $x$ négatif, en changeant seulement $x$ en $-x$ dans l’équation proposée, pour changer les racines positives en négatives et réciproquement.

On prouvera de la même manière que, si l’on donne à $x$ une valeur quelconque plus grande que $k+1,$ la valeur de $y$ sera toujours du même signe d’où, et de ce qui a été démontré ci-dessus, on conclura d’abord qu’il ne pourra y avoir aucune racine égale ou plus grande que $k+1.$

Donc, en général, si $k$ est le plus grand coefficient des termes négatifs d’une équation, et qu’en changeant l’inconnue $x$ en $-x,$ $h$ soit le plus grand coefficient des termes négatifs de la nouvelle équation, en supposant toujours le premier positif, toutes les racines réelles de l’équation seront nécessairement comprises entre les limites

$k+1\quad {\text{et}}\quad -h-1.$

Au reste, lorsque dans l’équation il y a plusieurs termes positifs avant