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le premier terme négatif, on pourra prendre pour $k$ une quantité moindre que le plus grand coefficient négatif. En effet, il est aisé de voir que la formule ci-dessus peut se mettre sous la forme

$(k+1)^{m}=k(k+1)(k+1)^{m-2}+k(k+1)(k+1)^{m-2}+\ldots +(k+1)^{2},$

et pareillement sous celle-ci

$(k+1)^{m}=k(k+1)^{2}(k+1)^{m-3}+k(k+1)^{2}(k+1)^{m-4}+\ldots +(k+1)^{3},$

et ainsi de suite.

D’où il est aisé de conclure que, si $m-n$ est l’exposant du premier terme négatif de l’équation proposée du degré $m,$ et que soit le plus grand coefficient, des termes négatifs, il suffira de déterminer $k$ de manière que l’on ait

$k(k+1)^{n-1}=l\,;$

et, comme on peut prendre pour $k$ une valeur plus grande quelconque, il suffira que l’on ait $k^{n}=l,$ c’est-à-dire $k={\sqrt[{n}]{l}}.$

Il en sera de même de la quantité $h,$ pour la limite des racines négatives.

Maintenant, si l’on change l’inconnue $x$ en ${\frac {1}{z}},$ on sait que les plus grandes racines de l’équation en $x$ deviennent les plus petites dans la transformée en $z,$ et réciproquement ; on pourra donc, par cette transformation, après avoir ordonné les termes suivant les puissances de $z,$ de manière que le premier terme de l’équation soit $z^{m},$ trouver de même les limites

$\mathrm {K} +1\quad {\text{et}}\quad -\mathrm {H} -1$

des racines positives et négatives de l’équation en $z.$

Ainsi, $\mathrm {K} +1$ étant plus grand que la plus grande valeur de $z$ ou de ${\frac {1}{x}},$ par la nature des fractions, ${\frac {1}{\mathrm {K} +1}}$ sera réciproquement plus petit que la plus petite valeur de $x\,;$ et de même, ${\frac {1}{\mathrm {H} +1}}$ sera plus petit que la plus petite valeur négative de $x$.