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Car prenons, par exemple, les deux fractions et $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} ,$ et $\mathrm {\frac {D}{D_{1}}} ,$ dont la différence est $\mathrm {\frac {1}{C_{1}D_{1}}} ,$ et supposons, s’il est possible, qu’il existe une autre fraction ${\frac {m}{n}},$ dont la valeur tombe entre celles de ces deux fractions, et dans laquelle le dénominateur $n$ soit moindre que $\mathrm {C} _{1}$ ou que $\mathrm {D} _{1}\,;$ donc, puisque ${\frac {m}{n}}$ doit se trouver entre $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} ,$ et $\mathrm {\frac {D}{D_{1}}} ,$ il faudra que la différence entre ${\frac {m}{n}}$ et $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} ,$ qui est ${\frac {m\mathrm {C} _{1}-n\mathrm {C} }{n\mathrm {C} _{1}}}$ ou ${\frac {n\mathrm {C} -m\mathrm {C} _{1}}{n\mathrm {C} _{1}}},$ soit $<\mathrm {\frac {1}{C_{1}D_{1}}} ,$ différence entre $\mathrm {\frac {D}{D_{1}}}$ et $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} \,;$ mais il est clair que celle-là ne saurait être moindre que ${\frac {1}{n\mathrm {C} _{1}}}\,;$ donc, si $n<\mathrm {D} _{1},$ elle sera nécessairement $>\mathrm {\frac {1}{C_{1}D_{1}}} \,;$ de même, la différence entre ${\frac {m}{n}}$ et $\mathrm {\frac {D}{D_{1}}} ,$ ne pouvant être plus petite que ${\frac {1}{n\mathrm {D} _{1}}},$ sera nécessairement $>\mathrm {\frac {1}{C_{1}D_{1}}} ,$ si $n<\mathrm {C} _{1},$ au lieu qu’elle devrait en être plus petite.

13. Voyons présentement de combien chaque fraction de la série $\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},{\frac {B}{B_{1}}}} ,\ldots$ approchera de la valeur de la quantité $a.$ Pour cela on remarquera que les formules trouvées dans le n^o 10 donnent

${\begin{aligned}a=&{\frac {\mathrm {A} b+1}{\mathrm {A} _{1}b}},\\a=&{\frac {\mathrm {B} c+\mathrm {A} }{\mathrm {B} _{1}c+\mathrm {A} _{1}}},\\a=&{\frac {\mathrm {C} d+\mathrm {B} }{\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1}}},\\a=&{\frac {\mathrm {D} e+\mathrm {C} }{\mathrm {D} _{1}e+\mathrm {C} _{1}}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, si l’on veut savoir de combien la fraction $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} ,$ par exemple, approche de la quantité, on cherchera la différence entre $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}}$ et $a\,;$ en pre-