Car prenons, par exemple, les deux fractions et
et
dont la différence est
et supposons, s’il est possible, qu’il existe une autre fraction
dont la valeur tombe entre celles de ces deux fractions, et dans laquelle le dénominateur
soit moindre que
ou que
donc, puisque
doit se trouver entre
et
il faudra que la différence entre
et
qui est
ou
soit
différence entre
et
mais il est clair que celle-là ne saurait être moindre que
donc, si
elle sera nécessairement
de même, la différence entre
et
ne pouvant être plus petite que
sera nécessairement
si
au lieu qu’elle devrait en être plus petite.
13. Voyons présentement de combien chaque fraction de la série
approchera de la valeur de la quantité
Pour cela on remarquera que les formules trouvées dans le no 10 donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}a=&{\frac {\mathrm {A} b+1}{\mathrm {A} _{1}b}},\\a=&{\frac {\mathrm {B} c+\mathrm {A} }{\mathrm {B} _{1}c+\mathrm {A} _{1}}},\\a=&{\frac {\mathrm {C} d+\mathrm {B} }{\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1}}},\\a=&{\frac {\mathrm {D} e+\mathrm {C} }{\mathrm {D} _{1}e+\mathrm {C} _{1}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03df9e8610bb9fa55170418dd39981bca7b10d1d)
et ainsi de suite.
Donc, si l’on veut savoir de combien la fraction
par exemple, approche de la quantité, on cherchera la différence entre
et
en pre-