nant pour
la quantité
on aura
![{\displaystyle a-\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} ={\frac {\mathrm {C} d+\mathrm {B} }{\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1}}}-\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} ={\frac {\mathrm {BC_{1}-CB_{1}} }{\mathrm {C} _{1}(\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1})}}={\frac {1}{\mathrm {C} _{1}(\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743c5c5253e3036b49d1179f2bb9ccb8b7691fb6)
à cause de
(no 12) ; or, comme on suppose que
soit la valeur approchée de
en sorte que la différence entre
et
soit
(no 3), il est clair que la valeur de
sera renfermée entre les deux nombres
et
(le signe supérieur étant pour le cas où la valeur approchée
est moindre que la véritable
et le signe inférieur pour le cas où
), et que, par conséquent, la valeur de
sera aussi renfermée entre ces deux-ci,
et
c’est-à-dire, entre
et
donc la différence
sera renfermée entre ces deux limites
d’où l’on pourra juger de la quantité de l’approximation de la fraction
14. En général on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}a=&\mathrm {\frac {A}{A_{1}}} +{\frac {1}{\mathrm {A} _{1}b}},\\a=&\mathrm {\frac {B}{B_{1}}} -{\frac {1}{\mathrm {B} _{1}(\mathrm {B} _{1}c+\mathrm {A} _{1})}},\\a=&\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} -{\frac {1}{\mathrm {C} _{1}(\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1})}},\\a=&\mathrm {\frac {D}{D_{1}}} -{\frac {1}{\mathrm {D} _{1}(\mathrm {D} _{1}e+\mathrm {C} _{1})}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1c8dc5135f6595b45f199461141a1a1e2b1cea)
et ainsi de suite.
Or, si l’on suppose que les valeurs approchées
soient toujours prises moindres que les véritables, ces nombres seront tous positifs, aussi bien que les quantités
(no 3) ; donc les nombres
seront aussi tous positifs ; d’où il s’ensuit que les différences entre la quantité
et les fractions
seront alter-