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nant pour $a$ la quantité ${\frac {\mathrm {C} d+\mathrm {B} }{\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1}}},$ on aura

$a-\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} ={\frac {\mathrm {C} d+\mathrm {B} }{\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1}}}-\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} ={\frac {\mathrm {BC_{1}-CB_{1}} }{\mathrm {C} _{1}(\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1})}}={\frac {1}{\mathrm {C} _{1}(\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1})}},$

à cause de $\mathrm {BC_{1}-CB_{1}} =1$ (n^o 12) ; or, comme on suppose que $\delta$ soit la valeur approchée de $d,$ en sorte que la différence entre $d$ et $\delta$ soit $<1$ (n^o 3), il est clair que la valeur de $d$ sera renfermée entre les deux nombres $\delta$ et $\delta \pm 1$ (le signe supérieur étant pour le cas où la valeur approchée $\delta$ est moindre que la véritable $d,$ et le signe inférieur pour le cas où $\delta >d$), et que, par conséquent, la valeur de $\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1}$ sera aussi renfermée entre ces deux-ci, $\mathrm {C_{1}\delta +B_{1}}$ et $\mathrm {C_{1}(\delta \pm 1)+B_{1}} ,$ c’est-à-dire, entre $\mathrm {D} _{1}$ et $\mathrm {D_{1}\pm C_{1}} \,;$ donc la différence $a-\mathrm {\frac {C}{C_{1}}}$ sera renfermée entre ces deux limites $\mathrm {{\frac {1}{C_{1}D_{1}}},\ {\frac {1}{C_{1}(D_{1}\pm C_{1})}}} ,$ d’où l’on pourra juger de la quantité de l’approximation de la fraction $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} .$

14. En général on aura

${\begin{aligned}a=&\mathrm {\frac {A}{A_{1}}} +{\frac {1}{\mathrm {A} _{1}b}},\\a=&\mathrm {\frac {B}{B_{1}}} -{\frac {1}{\mathrm {B} _{1}(\mathrm {B} _{1}c+\mathrm {A} _{1})}},\\a=&\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} -{\frac {1}{\mathrm {C} _{1}(\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B} _{1})}},\\a=&\mathrm {\frac {D}{D_{1}}} -{\frac {1}{\mathrm {D} _{1}(\mathrm {D} _{1}e+\mathrm {C} _{1})}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Or, si l’on suppose que les valeurs approchées $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ soient toujours prises moindres que les véritables, ces nombres seront tous positifs, aussi bien que les quantités $b,c,d,\ldots$ (n^o 3) ; donc les nombres $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}} ,\ldots$ seront aussi tous positifs ; d’où il s’ensuit que les différences entre la quantité $a$ et les fractions $\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},{\frac {B}{B_{1}}},{\frac {C}{C_{1}}}} ,$ seront alter-