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ESSAI D’ANALYSE NUMÉRIQUE
SUR LA
TRANSFORMATION DES FRACTIONS.

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(Journal de l’École Polytechnique, V^e Cahier, t. II, prairial an VI.)

1. Considérons la fraction $\mathrm {\frac {A}{B}} ,$ qu’on suppose moindre que l’unité, et réduite à sa plus simple expression, en sorte que les nombres $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ soient premiers entre eux. Si l’on demandait de transformer cette fraction en une autre dont le numérateur ou le dénominateur fût donné, il est clair que cela ne serait possible, à la rigueur, qu’autant que le nouveau numérateur ou dénominateur serait un multiple du numérateur ou dénominateur donné. Mais, si l’on veut se contenter d’une approximation, le Problème est toujours résoluble, et il s’agira de déterminer la nouvelle fraction, de manière qu’elle approche le plus qu’il est possible de la fraction donnée.

2. Ainsi, en désignant par ${\frac {m}{a}}$ cette nouvelle fraction, dans laquelle $m$ ou $a$ est supposé donné, le Problème consistera à déterminer $a$ ou $m,$ en sorte que la différence entre les deux fractions $\mathrm {\frac {B}{A}}$ et ${\frac {m}{a}}$ soit la plus petite qu’il est possible. Or cette différence est ${\frac {\mathrm {B} a-\mathrm {A} m}{\mathrm {A} a}}.$ Il s’agira donc de déterminer $a$ ou $m,$ de manière que le nombre $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m$ devienne le plus petit ; et, pour cela, il est visible qu’il n’y aura qu’à prendre