pour le quotient de divisé par ou pour le quotient de par alors la valeur de sera égale au reste de ces divisions, et sera par conséquent moindre que le diviseur.
3. Mais on doit observer ici que le reste d’une division peut être positif ou négatif, suivant qu’on prendra pour quotient le nombre qui, étant multiplié par le diviseur, sera immédiatement moindre ou plus grand que le dividende. Dans l’Arithmétique ordinaire, on fait toujours la division de manière que les restes soient positifs ; mais, dans la théorie générale des nombres, on peut employer également des restes positifs ou négatifs, et l’on peut même, par ce moyen, faire en sorte que le reste soit toujours moindre que la moitié du diviseur ; car il est évident que, si le reste positif est plus grand que cette moitié, en augmentant le quotient d’une unité, il faudra retrancher le diviseur du reste, ce qui donnera un reste négatif et moindre que la moitié du diviseur.
On peut, pour plus de simplicité, appeler division en dedans celle où le reste est positif, et division en dehors celle qui donne un reste négatif, parce qu’en effet, dans la première, le produit du quotient par le diviseur tombe en dedans du dividende, et que, dans la seconde, il tombe en dehors.
4. Soit donc en sorte que soit le reste de la division de par et le quotient, ou le reste de la division de par et le quotient, on aura
et par conséquent
On pourra donc traiter de la même manière la fraction dans laquelle est toujours nécessairement moindre que et la réduire à une autre fraction connue dont le numérateur ou le dénominateur soit
