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9. Lorsque ce sont les numérateurs $m,n,p,\ldots$ qui sont donnés, et qu’on cherche les dénominateurs $a,b,\ldots$ par les conditions supposées, les nombres $\mathrm {A,B,C,D} ,\ldots$ formeront nécessairement une suite décroissante. Car d’abord $\mathrm {B}$ est $<\mathrm {A}$ par l’hypothèse ; ensuite $\mathrm {C}$ étant le reste de la division de $\mathrm {A} m$ par $\mathrm {B}$ sera moindre que $\mathrm {B} \,;$ de même, $\mathrm {D}$ étant le reste de la division de $\mathrm {B} n$ par $\mathrm {C}$ sera moindre que $\mathrm {C} ,$ et ainsi de suite. D’où il suit que la suite des restes $\mathrm {C,D,E} ,\ldots$ devra nécessairement se terminer par zéro ; et alors la série ${\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{ab}}\pm {\frac {p}{abc}}\pm \ldots$ se terminera aussi, ce qui est évident par les formules du n^o 6.

Donc, réciproquement, si l’on a une série de la forme

${\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{ab}}\pm {\frac {p}{abc}}\pm \ldots ,$

où les numérateurs $m,n,p,\ldots$ soient respectivement moindres que $a+1,$$b+1,\ c+1,\ldots ,$ cette série, si elle va à l’infini, ne pourra jamais représenter une fraction rationnelle ; par conséquent elle représentera nécessairement une quantité numérique irrationnelle.

10. On sait qu’en nommant $e$ le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, on a généralement

$e^{u}=1+u+{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}}{2.3}}+\ldots \,;$

donc, si $u=1$ ou $={\frac {1}{i}},$ $i$ étant un nombre quelconque entier, la série qui représente la valeur de $e^{\frac {1}{i}}$ sera de la forme dont il s’agit ; par conséquent le nombre $e^{\frac {1}{i}}$ sera nécessairement irrationnel.

On a aussi, comme l’on sait,

${\begin{aligned}\sin u=&u-{\frac {u^{3}}{2.3}}+{\frac {u^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,\\\cos u=&1\ -{\frac {u^{2}}{2}}\,+\ {\frac {u^{4}}{2.3.4}}\ \ -{\frac {u^{6}}{2.3.4.5}}+\ldots .\end{aligned}}$