on le pratique dans l’Arithmétique, on aura la réduction connue de la fraction en décimales, où les numérateurs seront les caractères successifs de la fraction. En effet sera le quotient de la division de ou de par et le reste ; sera le quotient de la division de ou par et le reste, et ainsi de suite, ce qui revient à l’opération connue de la division en décimales.
Si l’on prenait pour les nombres on aurait la réduction de la fraction en fractions binaires, ternaires, duodécimales, etc.
8. Je remarque maintenant que, lorsque tous les dénominateurs sont donnés et égaux, les numérateurs doivent nécessairement revenir les mêmes et former une série périodique ; car, les restes étant tous moindres que le diviseur il arrivera nécessairement que, dans la suite des opérations, un des restes sera répété. Supposons, par exemple, que le reste soit égal au reste comme est le quotient et le reste de la division de par que de même est le quotient et le reste de la division de par il s’ensuit, à cause de et égaux à que l’on aura et et, par la même raison, et ainsi de suite ; de sorte que les quotients reviendront toujours à l’infini et formeront une suite périodique de deux termes. C’est ce qui a lieu, comme l’on sait, dans l’Arithmétique ordinaire, lorsqu’on réduit en décimales une fraction quelconque. La même chose aura lieu, par conséquent, dans tout autre système d’Arithmétique.
De là on peut conclure réciproquement que, si l’on a une série numérique quelconque de la forme
laquelle aille à l’infini, sans que les numérateurs qui doivent être tous forment une suite périodique, cette série ne pourra jamais représenter une fraction rationnelle.
