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cherche à les déterminer de manière que la fraction ${\frac {m}{a}}$ approche le plus qu’il est possible de la fraction donnée $\mathrm {\frac {B}{A}} ,$ les nombres $m$ et $a$ étant moindres respectivement que les nombres $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A} ,$ il est clair qu’il faudra donner à $\mathrm {C}$ la plus petite valeur possible, c’est-à-dire, faire $\mathrm {C}$ égal à l’unité positive ou négative, puisque $\mathrm {C} =0$ emporterait l’égalité des deux fractions, et rendrait $m=\mathrm {B} ,$$a=\mathrm {A} .$

Il s’agira donc de prendre $m$ et $a$ de manière que l’on ait

$\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1\,;$

on aura alors cette transformation

$\mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {m}{a}}\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}},$

où il faudra prendre le signe supérieur ou l’inférieur, suivant qu’on voudra que la fraction donnée soit plus grande ou moindre que la nouvelle faction ${\frac {m}{a}}.$

15. Mais il faut s’assurer d’abord qu’il peut toujours exister deux nombres $a<\mathrm {A} ,\ m<\mathrm {B} ,$ tels que l’on ait $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1.$ Mettons cette équation sous la forme $a={\frac {\mathrm {A} m\pm 1}{\mathrm {B} }}\,;$ il est visible que la question se réduira à trouver un nombre $m$ moindre que $\mathrm {B} ,$ lequel rende le nombre $m\mathrm {A} \pm 1$ divisible par $\mathrm {B} .$ Or, si l’on substitue dans $m\mathrm {A} \pm 1$ successivement pour $m$ tous les nombres $0,1,2,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {B} -1,$ et qu’on divise chaque résultat par $\mathrm {B} ,$ on aura des restes tous moindres que $\mathrm {B}$ et tous différents entre eux ; car, s’il pouvait y avoir deux restes égaux, soient $m$ et $m'$ les deux nombres qui donneront le même reste ; alors la différence $(m-m')\mathrm {A}$ sera nécessairement divisible par $\mathrm {B} \,;$ mais $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont premiers entre eux, et $m-m'$ est un nombre moindre que $\mathrm {B} ,$ puisque $m$ et $m'$ sont moindres que $\mathrm {B}$ donc, cette différence ne pouvant être divisible par $\mathrm {B} ,$ il s’ensuit que les deux restes ne sauraient être égaux ; donc le zéro se trouvera nécessairement parmi les restes ; par