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20. Cela posé, si l’on ajoute ensemble les deux équations

$\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad mb-an=\mp 1,$

on aura

$(\mathrm {B} -n)a-(\mathrm {A} -b)m=0,\quad {\text{savoir}}\quad {\frac {\mathrm {B} -n}{\mathrm {A} -b}}={\frac {m}{a}}.$

Or, la fraction ${\frac {m}{a}}$ étant réduite a ses moindres termes, la fraction ${\frac {\mathrm {B} -n}{\mathrm {A} -b}}$ ne peut lui être égale, à moins que le numérateur $\mathrm {B} -n$ et le dénominateur $\mathrm {A} -b$ ne soient équimultiples de $m$ et $a.$ On aura donc nécessairement, en prenant pour $\lambda$ un nombre entier indéterminé,

$\mathrm {B} -n=\lambda m,\quad \mathrm {A} -b=\lambda a\,;\quad {\text{donc}}\quad n=\mathrm {B} -\lambda m,\quad b=\mathrm {A} -\lambda a.$

Or, $n$ devant être $<m$ et $b<a,$ il est clair qu’on ne pourra prendre pour $n$ et $b$ que les restes des divisions de $\mathrm {B}$ par $m$ et de $\mathrm {A}$ par $a,$ et $\lambda$ sera alors le quotient commun de ces divisions. Ainsi, connaissant les deux premières fractions $\mathrm {\frac {B}{A}} ,{\frac {m}{a}},$ on pourra trouver de cette manière la troisième ${\frac {n}{b}}.$ De même, les équations

$mb+an=\mp 1\quad {\text{et}}\quad nc-bp=\pm 1,$

étant ajoutées ensemble, donnent

$(m-p)b-(a-c)n=0,\quad {\text{savoir}}\quad {\frac {m-p}{a-c}}={\frac {n}{b}},$

d’où l’on tirera, de la même manière,

$m-p=\mu n,\quad a-c=\mu b,$

$\mu$ étant un nombre quelconque entier.

On aura ainsi $p=m-\mu n,\ c=a-\mu b\,;$ et, comme $p$ doit être $<n$ et $c<b,$ il s’ensuit que $p$ et $c$ ne pourront être que les restes des divisions de $m$ par $n$ et de $a$ par $b,$ et que $\mu$ sera leur quotient commun.

On tirera pareillement des deux équations

$nc-pb=\pm 1,\quad pd-cq=\mp 1$

ces deux formules

$q=n-\nu p,\quad d=b-\nu c,$