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Si l’on substitue successivement les valeurs de ${\frac {m}{a}},{\frac {n}{b}},\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {\frac {B}{A}} &={\frac {m}{a}}\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}}\\&={\frac {n}{b}}\pm \left({\frac {1}{\mathrm {A} a}}-{\frac {1}{ab}}\right)\\&={\frac {p}{c}}\pm \left({\frac {1}{\mathrm {A} a}}-{\frac {1}{ab}}+{\frac {1}{bc}}\right)\\&={\frac {q}{d}}\pm \left({\frac {1}{\mathrm {A} a}}-{\frac {1}{ab}}+{\frac {1}{bc}}-{\frac {1}{cd}}\right)\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or, comme les nombres $a,b,c,\ldots$ sont supposés aller en diminuant, il est clair qu’on aura ${\frac {1}{ab}}>{\frac {1}{\mathrm {A} a}},\ {\frac {1}{bc}}>{\frac {1}{ab}},\ {\frac {1}{cd}}>{\frac {1}{bc}},\ldots .$ Donc on aura, en vertu des formules précédentes,

$\mathrm {\frac {B}{A}} \gtrless {\frac {m}{a}}\gtrless {\frac {p}{c}}\gtrless {\frac {r}{e}}\gtrless \ldots ,\quad \mathrm {\frac {B}{A}} \lessgtr {\frac {n}{b}}\lessgtr {\frac {q}{d}}\lessgtr {\frac {s}{f}}\lessgtr \ldots ,$

les signes supérieurs répondant aux signes supérieurs de ces formules, et les inférieurs aux inférieurs.

D’où je conclus que, si l’on suppose

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {B} b-\mathrm {A} n=&\mp \mathrm {N} ,\qquad &\mathrm {B} c-\mathrm {A} p=&\pm \mathrm {P} ,\qquad &\mathrm {B} d-\mathrm {A} q=&\mp \mathrm {Q} ,\\\mathrm {B} e-\mathrm {A} r=&\pm \mathrm {R} ,&\mathrm {B} f-\mathrm {A} s=&\mp \mathrm {S} ,&{\text{etc.}},\ \ \qquad &\end{alignedat}}$

en conservant toujours les signes supérieurs ou les inférieurs, les nombres entiers $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots$ seront nécessairement tous positifs, et il est clair qu’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {\frac {B}{A}} &={\frac {m}{a}}\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}}\\&=\,{\frac {n}{b}}\,\mp {\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {A} b}}\\&=\,{\frac {p}{c}}\ \pm {\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {A} c}}\\&=\,{\frac {q}{d}}\ \mp {\frac {\mathrm {Q} }{\mathrm {A} d}}\\&=\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$