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Ensuite l’équation qui là précède, $\mathrm {B} e-\mathrm {A} r=\pm \mathrm {R} ,$ donnera $\mathrm {B-A} r=\mathrm {R} \,;$ donc, puisque $\mathrm {B}$ est $<\mathrm {A} ,$ pour que $\mathrm {R}$ soit positif, il faudra faire $r=0,$ et l’on aura $\mathrm {R=B} .$

23. Ayant ainsi les valeurs des deux derniers termes de la série $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots ,$ on pourra trouver les valeurs de tous les précédents, ainsi que celles des nombres $\lambda ,\mu ,\ldots ,$ par les formules du n^o 21,

$\mathrm {\lambda =N,\quad 1=P-\mu N,\quad N=Q-\nu P} ,$

$\mathrm {P=R-\varpi Q,\quad Q=S-\rho R} ,\quad \ldots .$

En effet, ayant trouvé $\mathrm {S=A}$ et $\mathrm {R=B} ,$ on aura $\mathrm {Q=A-\rho B} \,;$ mais $\mathrm {Q}$ doit être $<\mathrm {R} ,$ par l’équation $\mathrm {P=R-\varpi Q} \,;$ donc, $\mathrm {Q}$ devant être $<\mathrm {B} ,$ il est visible que $\mathrm {Q}$ ne pourra être que le reste de la division de $\mathrm {A}$ par $\mathrm {B} ,$ et $\rho$ en sera le quotient ; ainsi l’on aura $\mathrm {Q} .$

Ensuite l’équation $\mathrm {P=R-\varpi Q=B-\varpi Q}$ fait voir de même (à cause que $\mathrm {P}$ doit être $<\mathrm {Q}$ par l’équation qui précède, $\mathrm {N=Q-\nu P}$) que $\mathrm {P}$ ne peut être que le reste de la division de $\mathrm {R}$ par $\mathrm {Q} ,$ et que $\varpi$ en sera le quotient.

Pareillement l’équation $\mathrm {N=Q-\nu P} ,$ dans laquelle $\mathrm {N}$ doit être $<\mathrm {P}$ en vertu de l’équation $1=\mathrm {P-\mu N}$ qui précède, fait voir que $\mathrm {N}$ ne peut être que le reste de la division de $\mathrm {Q}$ par $\mathrm {P} ,$ et que $\nu$ en sera le quotient.

Enfin l’équation $1=\mathrm {P-\mu N}$ donnera $\mu =\mathrm {\frac {P-1}{N}} ,$ et l’équation $\lambda =\mathrm {N}$ donnera la valeur de $\lambda .$

24. Les nombres $\lambda ,\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots$ étant ainsi connus, on pourra trouver directement les nombres $m,n,p,\ldots$ et $a,b,c,d,\ldots ,$ par le moyen des formules du n^o 21.

En effet ces formules donnent

${\begin{alignedat}{5}m=&\mu n+p,\qquad &n=&\nu p+q,\qquad &p=&\varpi q+r,\qquad &q=&\rho r+s,\qquad &\ldots ,\\a\ =&\mu b\,+c,\qquad &b=&\nu c+d,\qquad &c=&\varpi d+e,\qquad &d=&\rho e+f,\qquad &\ldots \,;\end{alignedat}}$

et, comme on a trouvé (22) $f=0,\ e=1,\ s=1,\ r=0,$ on aura, en remontant successivement, les valeurs de $d,c,b,a$ et $q,p,n,m.$