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Mais on peut faire toutes ces opérations à la fois, comme on le voit par l’Exemple suivant.

25. Soit proposée la fraction ${\frac {887}{1103}},$ en sorte que l’on ait $\mathrm {A} =1103$ et $\mathrm {B} =887\,;$ on disposera le calcul ainsi

${\begin{alignedat}{3}1\mathrm {A} &-&0\mathrm {B} =&\quad 1103\\0\mathrm {A} &-&1\mathrm {B} =&-887&\ \ 1\\1\mathrm {A} &-&1\mathrm {B} =&\quad \ 216&4\\4\mathrm {A} &-&5\mathrm {B} =&-23&9\\37\mathrm {A} &-&46\mathrm {B} =&\quad \ 9&2\\78\mathrm {A} &-&97\mathrm {B} =&-5&1\\115\mathrm {A} &-&143\mathrm {B} =&\quad \ 4&1\\193\mathrm {A} &-&240\mathrm {B} =&-1&4\\887\mathrm {A} &-&1103\mathrm {B} =&\quad \ 0\end{alignedat}}$

Les deux premières équations sont toujours $1\mathrm {A-0B=A}$ et $0\mathrm {A-1B=-B} .$ Pour en déduire la troisième, on cherche combien $\mathrm {B}$ est contenu en $\mathrm {A} \,;$ ici c’est une fois, et l’on met $1$ à côté de la seconde équation ; ensuite on ajoute cette équation, multipliée par le même nombre $1,$ à la précédente, et l’on aura la troisième équation $1\mathrm {A-1B} =216.$ On cherche de nouveau combien le nombre $216$ est contenu dans le précédent $887,$ c’est $4$ fois ; ainsi l’on met $4$ à côté de cette équation, et le produit de cette équation par $4,$ ajouté à la précédente, donnera la suivante $\mathrm {4A-5B} =-23,$ et ainsi de suite.

On voit d’abord, par ce procédé, que les nombres de la troisième colonne sont les restes, et ceux de la quatrième les quotients des différentes divisions qui ont lieu dans l’opération connue pour chercher le plus grand commun diviseur des deux premiers nombres de la troisième colonne ; de sorte que, ces nombres étant supposés premiers entre eux, il s’ensuit qu’on doit nécessairement parvenir à un reste égal à l’unité, ce qui donnera sur-le-champ une équation de la forme $m\mathrm {A} -a\mathrm {B} =\pm 1\,;$