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ainsi, on aura nécessairement de cette manière une solution de cette équation, et par conséquent des valeurs convenables de $m$ et $a,$ d’où l’on pourrait tirer successivement celles de $n,p,q,\ldots$ et de $b,c,d,\ldots ,$ par la méthode du n^o 20.

26. Mais, en rapprochant ces opérations de celles auxquelles notre analyse nous a conduits ci-dessus (23), il est facile de voir que les coefficients de $\mathrm {A}$ dans la première colonne sont tous les nombres $m,n,p,\ldots ,$ et les coefficients de $\mathrm {B}$ dans la seconde colonne sont les nombres correspondants $a,b,c,\ldots ,$ ces nombres étant disposés à rebours ; en sorte que les premiers $m$ et $a$ soient les avant-derniers, savoir, $193$ et $248.$

On doit voir en même temps que les nombres qui forment la troisième colonne sont les nombres $1,\mathrm {N,P,Q} ,\ldots ,$ disposés aussi à rebours et pris alternativement en plus et en moins, de manière qu’on aura $\mathrm {N} =4,$ $\mathrm {P} =5,$ $\mathrm {Q} =9,$

Enfin les nombres de la quatrième colonne seront les nombres $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots ,$ pris également à rebours ; en sorte que l’on aura $\lambda =4,\ \mu =1,\ \nu =1,\ldots .$

Ainsi l’on aura tout de suite les fractions les plus approchantes de la fraction donnée, et conçues en termes toujours plus petits, en supposant la troisième colonne nulle et prenant successivement pour $\mathrm {\frac {B}{A}}$ les valeurs qui résultent de cette supposition.

Dans le cas de l’Exemple précédent, où la fraction donnée est ${\frac {887}{1103}},$ les fractions convergentes seront donc

${\frac {193}{240}},\quad {\frac {115}{143}},\quad {\frac {78}{97}},\quad {\frac {37}{46}},\quad {\frac {4}{5}},\quad {\frac {1}{1}},\quad {\frac {0}{1}}\,;$

et les équations $193\mathrm {A-240B=-1,\ 115A-143B} =4,\ldots$ font voir que l’erreur de la première de ces fractions est en excès, celle de la seconde en défaut, et ainsi de suite.

Si l’on voulait avoir une première fraction en défaut, on prendrait (16)