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fraction continue

${\frac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4}}}}}}}}}}}}}},$

et cette fraction, étant coupée successivement au premier dénominateur, au second, au troisième, etc., donne les mêmes fractions convergentes ${\frac {1}{1}},{\frac {4}{5}},$${\frac {37}{46}},\ldots .$

28. C’est par le moyen des fractions continues qu’on a coutume de résoudre le Problème des fractions les plus convergentes vers une fraction donnée. On commence par réduire cette fraction en fraction continue, en faisant sur le numérateur et le dénominateur l’opération connue pour trouver le plus grand commun diviseur, et prenant les quotients de ces divisions successives pour les dénominateurs de la fraction continue ensuite on en déduit les fractions convergentes par des formules semblables à celles du n^o 24. La fraction ${\frac {887}{1103}},$ traitée de cette manière, donne les quotients $1,4,9,2,1,1,4,$ et l’on en forme immédiatement cette suite de fractions,

${\begin{array}{ccccccccc}&1,&4,&9,&2,&1,&1,&4\\{\frac {1}{0}},&{\frac {0}{1}},&{\frac {1}{1}},&{\frac {4}{5}},&{\frac {37}{46}},&{\frac {78}{97}},&{\frac {115}{143}},&{\frac {193}{240}},&{\frac {887}{1103}}\end{array}}$

dont chacune est composée des deux précédentes, en prenant pour numérateur la somme du numérateur précédent, multiplié par le nombre de la série des quotients qui est placé au-dessus, et du numérateur qui précède celui-ci ; et de même, pour dénominateur, la somme du dénominateur précédent, multiplié par le même nombre, et du dénominateur qui précède ce dernier.