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29. Mais on peut déduire de nos formules un autre procédé pour parvenir directement à une quelconque des fractions convergentes par le moyen d’une seule série. Pour cela, je considère les équations du n^o 21 sous cette forme,

${\begin{alignedat}{4}\mathrm {B} =&\lambda m+n,\qquad &m=&\mu n+p,\qquad &n=&\nu p+q,\qquad &\ldots ,&\\\mathrm {A} =&\lambda a\ \,+b,&a=&\mu b\ +c,&b=&\nu c\,+d,&\ldots ,&\end{alignedat}}$

et j’observe que les valeurs de $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A}$ dépendent des quantités $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots ,$ comme celles de $m$ et $a$ dépendent des quantités $\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots ,$ et celles de $n$ et $b$ dépendent de $\nu ,\varpi ,\ldots ,$ ce qui est évident par la forme même de ces équations. D’un autre côté, si l’on considère la série des nombres $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots ,$ et qu’on y ajoute au commencement les deux nombres $\mathrm {L} =0$ et $\mathrm {M} =1,$ on a, par les formules du n^o 21,

$\mathrm {N=\lambda M+L,\quad P=\mu N+M,\quad Q=\nu P+N,\quad R=\varpi Q+P} ,\quad \ldots \,;$

or on a vu (22) que les deux derniers termes de cette série sont nécessairement les nombres $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A} \,;$ donc, si dans ces formules on change les nombres $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots$ en $\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots ,$ les deux derniers termes de la série seront $m$ et $a\,;$ de sorte que l’on aura immédiatement la première fraction convergente ${\frac {m}{a}},$ par les deux derniers termes de la série

$\mathrm {L=0,\quad M=1,\quad N=\mu M+L,\quad P=\nu N+M,\quad R=\varpi P+N} ,\quad \ldots ,$

et, par la même raison, on aura la seconde fraction convergente ${\frac {n}{b}},$ en prenant pour $n$ et $b$ les deux derniers termes de la série

$\mathrm {L=0,\quad M=1,\quad N=\nu M+L,\quad P=\varpi N+M} ,\quad \ldots ,$

et ainsi de suite ; les nombres $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots$ étant les dénominateurs de la fraction continue, pris à rebours, c’est-à-dire à commencer par le dernier.

30. Ainsi, ayant trouvé pour la fraction ${\frac {883}{1103}}$ cette suite de quotients