Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/333

---

SOLUTIONS DE QUELQUES PROBLÈMES
RELATIFS
AUX TRIANGLES SPHÉRIQUES,
AVEC
UNE ANALYSE COMPLÈTE DE CES TRIANGLES.

---

(Journal de l’École Polytechnique, VI^e Cahier, t. II, thermidor, an VII.)

On sait que, dans les triangles rectilignes, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés, et l’on démontre facilement que ce rapport constant des côtés aux sinus est égal au diamètre du cercle circonscrit.

On peut aussi exprimer ce même rapport par le moyen de l’aire du triangle, et il est facile de prouver qu’il est égal au produit des trois côtés, divisé par le double de l’aire.

1. Mais, si l’on voulait exprimer ce rapport par les seuls côtés du triangle, il n’y aurait qu’à considérer qu’en nommant $a,b,c$ les trois côtés, et $\mathrm {A,B,C}$ les angles qui leur sont opposés, on a, par le théorème connu,

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \mathrm {A} \,;$

donc

$\cos \mathrm {A} ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}},$

et de là

$\sin \mathrm {A} ={\frac {\sqrt {4b^{2}c^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}}{2bc}}\,;$