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Donc, si l’on fait, pour abréger,

$d={\sqrt {4b^{2}c^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}},$

on aura

$\sin \mathrm {A} ={\frac {d}{2bc}}\,;\quad {\text{donc}}\quad {\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {2abc}{d}}\,;$

c’est le rapport cherché.

Si l’on nomme $r$ le rayon du cercle circonscrit au triangle, et $s$ la surface ou l’aire du même triangle, on aura

${\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {2abc}{d}}=2r={\frac {abc}{2s}}\,;$

donc

$r={\frac {abc}{d}},\quad {\text{et}}\quad s={\frac {abc}{4r}}={\frac {d}{4}}.$

2. En développant le carré de $b^{2}+c^{2}-a^{2},$ et réduisant, on a

$d={\sqrt {2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}},$

formule où l’on voit que les trois côtés $a,b,c$ entrent également, comme cela doit être.

Mais on peut mettre cette formule sous une forme plus simple, et plus commode pour le calcul logarithmique, en la décomposant en facteurs. En effet, on a

${\begin{aligned}4b^{2}c^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}=&\left(2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\left(2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)\\=&\left[(b+c)^{2}-a^{2}\right]\left[a^{2}-(b-c)^{2}\right]\,;\end{aligned}}$

et, décomposant encore chacun de ces facteurs en deux, on aura

$d={\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)}}.$

Ces formules sont connues, et je ne les rapporte ici que pour servir comme d’introduction aux recherches suivantes.

3. Puisque dans les triangles sphériques les sinus des côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés à ces côtés, on peut être