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donc, faisant ces substitutions et renversant la fraction, on aura

$\operatorname {tang} {\frac {\Sigma }{2}}={\frac {f}{1+\cos a+\cos b+\cos c}},$

formule la plus simple pour déterminer l’aire $\Sigma$ d’un triangle sphérique par le moyen de ses trois côtés $a,b,c$.

11. Nous avons vu (7) que ${\frac {f}{6}}$ est la solidité de la pyramide triangulaire formée par les trois rayons de la sphère qui répondent aux trois angles du triangle sphérique.

Considérons maintenant une pyramide triangulaire formée par ces mêmes rayons prolongés autant qu’on voudra, de manière qu’ils deviènnent $p,q,r,$ et que $a,b,c$ soient les arcs ou angles compris entre ces droites. Pour avoir la solidité de cette pyramide, il n’y aura qu’à la considérer comme couchée sur une de ses faces, par exemple celle qui a pour côtés les lignes $p$ et $q,$ et abaisser de l’extrémité de la troisième droite $r$ une perpendiculaire $\mathrm {P}$ sur le plan de la même face. Il est d’abord facile de voir que, si $a$ est l’angle compris entre $p$ et $q,$ l’aire de la face que nous regardons comme la base de la pyramide sera ${\frac {pq\sin a}{2}}\,;$ donc la solidité de la pyramide sera ${\frac {\mathrm {P} pq\sin a}{6}}.$

Or, si l’on nomme $\theta$ l’angle que la droite $r$ fait avec le plan passant par les droites $p$ et $q,$ il est clair que l’on aura $\mathrm {P} =r\sin \theta \,;$ donc la solidité cherchés seras ${\frac {pqr\sin a\sin \theta }{6}}.$

L’angle $\theta$ n’est autre chose que l’arc abaissé perpendiculairement de l’angle $\mathrm {A}$ du triangle sphérique sur le côté opposé $a\,;$ on peut par conséquent déterminer la valeur de $\sin \theta$ par les sinus ou cosinus des côtés $a,b,c$ du triangle ; mais, pour notre objet, il suffit de considérer que cette valeur, ainsi que celle du sinus $a,$ étant indépendante des lignes $p,q,r,$ si l’on fait $p=1,$ $q=1,\ r=1,$ on aura le cas de la pyramide dont on a parlé ci-dessus, et dont la solidité est ${\frac {f}{6}}.$