Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/347

17. Enfin la même équation trouvée ci-dessus,

$\cos a\sin b=\sin a\cos b\cos \mathrm {C} +\sin c\cos \mathrm {A} ,$

donne, en changeant $a$ en $b$ et $\mathrm {A}$ en $\mathrm {B} ,$

$\sin a\cos b=\cos a\sin b\cos \mathrm {C} +\sin c\cos \mathrm {B} .$

Substituant cette valeur de $\sin a\cos b$ dans la même équation, on a

$\cos a\sin b=\cos a\sin b\cos ^{2}\mathrm {C} +\sin c\cos \mathrm {B} \cos \mathrm {C} +\sin c\cos \mathrm {A} ,$

savoir

$\cos a\sin b\sin ^{2}\mathrm {C} =\sin c\mathrm {\left(\cos B\cos C+\cos A\right)} \,;$

substituons pour $\sin c$ sa valeur ${\frac {\sin b\sin \mathrm {C} }{\sin \mathrm {B} }},$ tirée de l’équation (B), en changeant $a$ en $c$ et $\mathrm {A}$ en $\mathrm {C} \,;$ divisons ensuite par $\sin b\sin \mathrm {C}$ et multiplions par $\sin \mathrm {B} ,$ on aura

$\cos a\mathrm {\sin B\sin C=\cos B\cos C+\cos A} ,$

savoir

(D)

$\mathrm {\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C} \cos a.$

18. Cette formule est, comme l’on voit, tout à fait analogue à la formule (A) du n^o 14, d’où nous sommes partis ; les angles $\mathrm {A,B,C}$ ont pris la place des côtés $a,b,c,$ et réciproquement ; et les cosinus sont devenus négatifs, les sinus demeurant positifs, ce qui indique que les côtés sont devenus les suppléments à deux droits des angles, et les angles les suppléments à deux droits des côtés. Ainsi toutes les formules qui résultent de la formule (A) seront vraies aussi, en y faisant ces mêmes changements.

Il résulte de là cette propriété connue des triangles sphériques, que tout triangle sphérique peut être changé en un autre dont les côtés et les angles soient respectivement suppléments des angles et des côtés du premier ; et l’on sait que ce nouveau triangle, qu’on nomme supplémentaire, est celui qui est formé sur la sphère par les trois pôles des arcs