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tités entrent également, de sorte qu’elle demeure la même, en faisant entre elles telle permutation qu’on voudra.

Ainsi, en changeant $a$ en $b$ et $\mathrm {A}$ en $\mathrm {B} ,$ le second membre de l’équation ne changera pas, et l’on aura par conséquent l’équation

(B)

${\frac {\sin a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\sin b}{\sin \mathrm {B} }}.$

C’est ce qu’on appelle l’analogie commune des sinus ; et il est visible qu’en changeant $a$ en $c$ et $\mathrm {A}$ en $\mathrm {C} ,$ on aura de même

${\frac {\sin a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\sin c}{\sin \mathrm {C} }}.$

16. Reprenons l’équation (A) du n^o 14

$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \mathrm {A} \,;$

en changeant $a$ en $c$ et $\mathrm {A}$ en $\mathrm {C} ,$ on aura de même

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \mathrm {C} \,;$

substituant cette valeur de $\cos c$ dans la première équation, elle deviendra

$\cos a=\cos a\cos ^{2}b+\sin a\sin b\cos b\cos \mathrm {C} +\sin b\sin c\cos \mathrm {A} ,$

savoir,

$\cos a\sin ^{2}b=\sin a\sin b\cos b\cos \mathrm {C} +\sin b\sin c\cos \mathrm {A} ,$

et, divisant par $\sin b,$

$\cos a\sin b=\sin a\cos b\cos \mathrm {C} +\sin c\cos \mathrm {A} .$

Substituons pour $\sin c$ sa valeur ${\frac {\sin a\sin \mathrm {C} }{\sin \mathrm {A} }},$ tirée de l’équation (B) du numéro précédent, en changeant $b$ en $c$ et $\mathrm {B}$ en $\mathrm {C} \,;$ divisons ensuite par $\sin a,$ et mettons $\cot a$ et $\cot \mathrm {A}$ à la place de ${\frac {\cos a}{\sin a}}$ et $\mathrm {\frac {\cos A}{\sin A}} \,;$ on aura l’équation

(C)

$\cot a\sin b=\cot \mathrm {A} \sin \mathrm {C} +\cos b\cos \mathrm {C} .$