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core ces deux-ci

${\begin{aligned}\cot \mathrm {A} =&\cot a\sin b,\\\cos \mathrm {A} =&\sin \mathrm {B} \cos a.\end{aligned}}$

Ces six équations donnent directement la solution de tous les cas des triangles sphériques rectangles ; et, comme elles sont sous une forme très-commode pour l’emploi des logarithmes, on s’en sert communément dans la Trigonométrie en décomposant tous les triangles en triangles rectangles, par l’abaissement d’une perpendiculaire. Mais on peut également résoudre tous les cas par les quatre équations générales en réduisant ces équations en facteurs, au moyen des transformations que nous allons exposer.

21. L’équation (A) entre les trois côtés $a,b,c$ et un angle $\mathrm {A}$ opposé au côté $a$ peut servir à déterminer : 1^o $\mathrm {A}$ par $a,b,c\,;$ 2^o $a$ par $b,c$ et $\mathrm {A} \,;$ 3^o $b$ par $a,c$ et $\mathrm {A} .$

1^o Pour déterminer $\mathrm {A}$ par $a,b,c,$ on aura

$\cos \mathrm {A} ={\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}},$

d’où l’on tire

$1+\cos \mathrm {A} =2\left(\cos {\frac {\mathrm {A} }{2}}\right)^{2}={\frac {\cos a-\cos(b+c)}{\sin b\sin c}}$

$={\frac {2\sin {\cfrac {b+c-a}{2}}\sin {\cfrac {b+c+a}{2}}}{\sin b\sin c}},$

$1-\cos \mathrm {A} =2\left(\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}\right)^{2}={\frac {\cos(b-c)-\cos a}{\sin b\sin c}}$

$={\frac {2\sin {\cfrac {a-b+c}{2}}\sin {\cfrac {a+b-c}{2}}}{\sin b\sin c}}\,;$

donc

$(a)\qquad \qquad \quad \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {\sin {\cfrac {a+b-c}{2}}\sin {\cfrac {a-b+c}{2}}}{\sin {\cfrac {b+c+a}{2}}\sin {\cfrac {b+c-a}{2}}}}}.$

2^o Pour déterminer $a$ par $b,c$ et $\mathrm {A} ,$ on a

$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \mathrm {A} .$

Il ne paraît guère possible de réduire immédiatement cette équation