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en facteurs pour l’usage des logarithmes ; mais on peut y parvenir par le moyen d’un angle subsidiaire.

En effet, si l’on fait

$(b)\qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} c\cos \mathrm {A} =\operatorname {tang} \varphi ,$

on aura

$\sin c\cos \mathrm {A} =\cos c\operatorname {tang} \varphi ,$

donc

$\cos a=\cos(\cos b+\sin b\operatorname {tang} \varphi )\,;$

or

$\cos b+\sin b\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\cos b\cos \varphi +\sin b\sin \varphi }{\cos \varphi }}={\frac {\cos(b-\varphi )}{\cos \varphi }}\,;$

donc

$(c)\qquad \qquad \qquad \qquad \cos a={\frac {\cos c\cos(b-\varphi )}{\cos \varphi }}.$

Il n’est pas diflicile de voir que cette transformation revient à la division du triangle en deux triangles rectangles, par une perpendiculaire abaissée de l’angle $\mathrm {B}$ sur le côté $b,$ et que $\varphi$ est le segment du côté adjacent à l’angle $\mathrm {A} .$

3^o Pour déterminer $b$ par $a,c$ et $\mathrm {A} ,$ il faudrait substituer, dans l’équation principale (A), ${\sqrt {1-\sin ^{2}b}}$ au lieu de $\cos b,$ élever ensuite au carré pour faire disparaître le radical, et tirer la valeur de $\sin b$ par la résolution d’une équation du second degré, ce qui donnerait pour \sin b une formule compliquée et qui se refuserait au calcul logarithmique. Mais la transformation employée ci-dessus sert aussi à résoudre ce cas ; car, ayant déterminé l’angle par l’équation $(b)$, l’équation $(c)$ donnera

$(d)\qquad \qquad \qquad \qquad \cos(b-\varphi )={\frac {\cos a\cos \varphi }{\cos c}}.$

22. L’équation (B) entre deux côtés $a$ et $b$ et les angles opposés $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ peut servir : 1^o à déterminer $\mathrm {A}$ par $a,b,\mathrm {B} ,$ et 2^o à déterminer $a$ par $b,\mathrm {A,B} .$