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qui renferme toute la théorie des triangles sphériques. Mais, lorsqu’on a à chercher à la fois deux côtés par le troisième côté et les deux angles opposés, ou deux angles par le troisième angle et les deux côtés opposés, il est plus commode d’employer les formules trouvées par Neper entre ces cinq parties. Voici la manière la plus simple de parvenir à ces formules

On a trouvé dans le n^o 21

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {\sin {\cfrac {a+b-c}{2}}\sin {\cfrac {a-b+c}{2}}}{\sin {\cfrac {b+c+a}{2}}\sin {\cfrac {b+c-a}{2}}}}}.$

On aura de même pour l’angle $\mathrm {B} ,$ en changeant $\mathrm {A}$ en $\mathrm {B}$ et $a$ en $b,$

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {B} }{2}}={\sqrt {\frac {\sin {\cfrac {a+b-c}{2}}\sin {\cfrac {b-a+c}{2}}}{\sin {\cfrac {a+b+c}{2}}\sin {\cfrac {a-b+c}{2}}}}}\,;$

donc, multipliant ensemble,

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {B} }{2}}={\frac {\sin {\cfrac {a+b-c}{2}}}{\sin {\cfrac {a+b+c}{2}}}}\,;$

si l’on change dans cette équation $b$ en $c$ et $\mathrm {B}$ en $\mathrm {C} ,$ on aura

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\frac {\sin {\cfrac {a-b+c}{2}}}{\sin {\cfrac {a+b+c}{2}}}},$

et changeant dans la même équation $a$ en $c$ et $\mathrm {B}$ en $\mathrm {C} ,$ on aura

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {B} }{2}}\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\frac {\sin {\cfrac {b+c-a}{2}}}{\sin {\cfrac {a+b+c}{2}}}}\,;$