qui renferme toute la théorie des triangles sphériques. Mais, lorsqu’on a à chercher à la fois deux côtés par le troisième côté et les deux angles opposés, ou deux angles par le troisième angle et les deux côtés opposés, il est plus commode d’employer les formules trouvées par Neper entre ces cinq parties. Voici la manière la plus simple de parvenir à ces formules
On a trouvé dans le no 21
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {\sin {\cfrac {a+b-c}{2}}\sin {\cfrac {a-b+c}{2}}}{\sin {\cfrac {b+c+a}{2}}\sin {\cfrac {b+c-a}{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47da8afbf85ffca3e95a37f754bc0a84606734a7)
On aura de même pour l’angle
en changeant
en
et
en
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {B} }{2}}={\sqrt {\frac {\sin {\cfrac {a+b-c}{2}}\sin {\cfrac {b-a+c}{2}}}{\sin {\cfrac {a+b+c}{2}}\sin {\cfrac {a-b+c}{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d377ef6b58ad9fdf5027de44a5abf233ecf8ab)
donc, multipliant ensemble,
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {B} }{2}}={\frac {\sin {\cfrac {a+b-c}{2}}}{\sin {\cfrac {a+b+c}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde7213ea8936fcde58d6c781f5c180b9f37c01e)
si l’on change dans cette équation
en
et
en
on aura
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\frac {\sin {\cfrac {a-b+c}{2}}}{\sin {\cfrac {a+b+c}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55feb80c26e97148c124a0d30589694847d389a)
et changeant dans la même équation
en
et
en
on aura
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {B} }{2}}\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\frac {\sin {\cfrac {b+c-a}{2}}}{\sin {\cfrac {a+b+c}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe564d5aaa55b6e92277aec0e2685d4a7f167f4)