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subsidiaire $\varphi$ par l’équation $(g)$, l’équation $(h)$ donnera

$(m)\qquad \qquad \qquad \qquad \sin(b-\varphi )={\frac {\cot \mathrm {A} \sin \varphi }{\cot \mathrm {C} }}.$

24. Enfin l’équation (D) entre les trois angles $\mathrm {A,B,C}$ et un côté a servira à déterminer : 1^o $a$ par $\mathrm {A,B,C} \,;$ 2^o $\mathrm {A}$ par $a,\mathrm {B,C} \,;$ 3^o $\mathrm {B}$ par $a,\mathrm {A,C} .$ Comme ces trois cas répondent à ceux qui dépendent de l’équation (A), dont l’équation (D) n’est qu’une transformée, on peut y appliquer immédiatement les formules que nous avons données pour ceux-ci dans le n^o 21, en y substituant au lieu des côtés $a,b,c$ les suppléments à deux droits des angles $\mathrm {A,B,C} ,$ et au lieu de ces angles les suppléments à deux droits des côtés opposés $a,b,c$ (18).

Ainsi : 1^o pour déterminer $a$ par $\mathrm {A,B,C} ,$ l’équation $(a)$ du n^o 21 donnera la transformée

$(n)\qquad \qquad \cot {\frac {\mathrm {a} }{2}}={\sqrt {\mathrm {\frac {\cos {\cfrac {A+B-C}{2}}\cos {\cfrac {A-B+C}{2}}}{-\cos {\cfrac {B+C+A}{2}}\cos {\cfrac {B+C-A}{2}}}} }}.$

2^o Pour déterminer $\mathrm {A}$ par $a,\mathrm {B,C} ,$ on fera les mêmes substitutions dans les formules (b) et (c) du même numéro ; et, prenant au lieu de l’angle $\varphi$ son complémentà un droit, on aura ces deux équations

$(o)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} \mathrm {C} \cos a=\cot \varphi ,$

$(p)\qquad \qquad \qquad \qquad \cos \mathrm {A} =\mathrm {\frac {\cos C\sin(B-\varphi )}{\sin \varphi }} .$

3^o Les mêmes équations serviront à déterminer $\mathrm {B}$ par $a,\mathrm {A,C} \,;$ car, ayant trouvé $\varphi$ par l’équation $(o)$, l’équation $(p)$ donnera

$(q)\qquad \qquad \qquad \qquad \sin \mathrm {(B-\varphi )={\frac {\cos A\sin \varphi }{\cos C}}} .$

25. On peut donc, par ces formules, trouver directement un côté ou un angle quelconque par trois parties données, soit côtés ou angles ; ce