subsidiaire
par l’équation
, l’équation
donnera
![{\displaystyle (m)\qquad \qquad \qquad \qquad \sin(b-\varphi )={\frac {\cot \mathrm {A} \sin \varphi }{\cot \mathrm {C} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6306537ca7d92878173eed8c94b898b3f736e8e1)
24. Enfin l’équation (D) entre les trois angles
et un côté a servira à déterminer : 1o
par
2o
par
3o
par
Comme ces trois cas répondent à ceux qui dépendent de l’équation (A), dont l’équation (D) n’est qu’une transformée, on peut y appliquer immédiatement les formules que nous avons données pour ceux-ci dans le no 21, en y substituant au lieu des côtés
les suppléments à deux droits des angles
et au lieu de ces angles les suppléments à deux droits des côtés opposés
(18).
Ainsi : 1o pour déterminer
par
l’équation
du no 21 donnera la transformée
![{\displaystyle (n)\qquad \qquad \cot {\frac {\mathrm {a} }{2}}={\sqrt {\mathrm {\frac {\cos {\cfrac {A+B-C}{2}}\cos {\cfrac {A-B+C}{2}}}{-\cos {\cfrac {B+C+A}{2}}\cos {\cfrac {B+C-A}{2}}}} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4764e08b997e920cf2ddca81bf082b5713fec5fb)
2o Pour déterminer
par
on fera les mêmes substitutions dans les formules (b) et (c) du même numéro ; et, prenant au lieu de l’angle
son complémentà un droit, on aura ces deux équations
![{\displaystyle (o)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} \mathrm {C} \cos a=\cot \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5318c509d9bfad9d9d1e3bbb0d2924b40382d920)
![{\displaystyle (p)\qquad \qquad \qquad \qquad \cos \mathrm {A} =\mathrm {\frac {\cos C\sin(B-\varphi )}{\sin \varphi }} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a48fe9ec10a0a9a5f9924b4e844d4efc485df07f)
3o Les mêmes équations serviront à déterminer
par
car, ayant trouvé
par l’équation
, l’équation
donnera
![{\displaystyle (q)\qquad \qquad \qquad \qquad \sin \mathrm {(B-\varphi )={\frac {\cos A\sin \varphi }{\cos C}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc99d5539c440ff0b15a27ea70b0aa094e2c22d6)
25. On peut donc, par ces formules, trouver directement un côté ou un angle quelconque par trois parties données, soit côtés ou angles ; ce