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or, par la loi des fractions intermédiaires, il est clair que, à cause de $\varepsilon =\infty ,$ on pourra insérer entre les fractions $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}}$ et $\mathrm {\frac {E}{E_{1}}}$ une infinité de fractions intermédiaires, qui seront

$\mathrm {{\frac {D+C}{D_{1}+C_{1}}},\quad {\frac {2D+C}{2D_{1}+C_{1}}},\quad {\frac {3D+C}{3D_{1}+C_{1}}}} ,\quad \ldots .$

Ainsi, dans ce cas, on pourra, après la fraction $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}}$ dans la première suite de fractions, placer encore les fractions intermédiaires dont nous parlons, et les continuer à l’infini.

Problème.

19. Une fraction exprimée par un grand nombre de chiffres étant donnée, trouver toutes les fractions en moindres termes qui approchent si près de la vérité, qu’il soit impossible d’en approcher davantage sans en employer de plus grandes.

Ce Problème se résoudra facilement par la théorie que nous venons d’expliquer.

On commencera par réduire la fraction proposée en fraction continue par la méthode du n^o 4, en ayant soin de prendre toutes les valeurs approchées plus petites que les véritables, pour que les nombres, $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ soient tous positifs ; ensuite, à l’aide des nombres trouvés $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ on formera, d’après les formules du n^o 10, les fractions $\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},{\frac {B}{B_{1}}},{\frac {C}{C_{1}}}} ,\ldots ,$ dont la dernière sera nécessairement la même que la fraction proposée, parce que dans ce cas la fraction continue est terminée. Ces fractions seront alternativement plus petites et plus grandes que la fraction donnée, et seront successivementconçues en termes plus grands ; et de plus elles seront telles, que chacune de ces fractions approchera plus de la fraction donnée que ne pourrait faire toute autre fraction quelconque qui serait conçue en termes moins simples. Ainsi