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fractions décroissantes et plus grandes que $a.$

$\mathrm {{\frac {A+1}{1}},\quad {\frac {2A+1}{2}},\quad {\frac {3A+1}{3}}} ,\quad \ldots ,$

${\begin{array}{lllll}\mathrm {\cfrac {\beta A+1}{\beta }} ,&\mathrm {\cfrac {B}{B_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {C+B}{C_{1}+B_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {2C+B}{2C_{1}+B_{1}}} ,&\ldots ,\\\mathrm {\cfrac {\delta C+B}{\delta C_{1}+B_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {D}{D_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {E+D}{E_{1}+D_{1}}} ,&\ldots ,&\mathrm {etc} .\end{array}}$

Si la quantité $a$ est irrationnelle ou transcendante, les deux séries précédentes iront à l’infini, puisque la série des fractions

$\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\quad {\frac {B}{B_{1}}},\quad {\frac {C}{C_{1}}}} ,\quad \ldots ,$

que nous nommerons dans la suite fractions principales, pour les distinguer des fractions intermédiaires, va d’elle-mêmeà l’infini (n^o 10).

Mais, si la quantité $a$ est rationnelle et égale à une fraction quelconque $\mathrm {\frac {V}{V_{1}}} ,$ nous avons vu dans le numéro cité que la série dont il s’agit sera terminée, et que la dernière fraction de cette série sera la fraction même $\mathrm {\frac {V}{V_{1}}} \,;$ donc cette fraction terminera aussi nécessairement une des deux séries ci-dessus, mais l’autre série pourra toujours aller à l’infini.

En effet, supposons que $\delta$ soit le dernier dénominateur de la fraction continue ; alors $\mathrm {\frac {D}{D_{1}}}$ sera la dernière des fractions principales, et la série des fractions plus grandes que $a$ sera terminée par cette même fraction $\mathrm {\frac {D}{D_{1}}} \,;$ or l’autre série des fractions plus petites que $a$ se trouvera naturellement arrêtée à la fraction $\mathrm {\frac {C}{C_{1}}} ,$ qui précède $\mathrm {\frac {D}{D_{1}}} \,;$ mais, pour la continuer, il n’y a qu’à considérer que le dénominateur $\varepsilon ,$ qui devrait suivre le dernier dénominateur $\delta ,$ sera $=\infty$ (n^o 3) ; de sorte que la fraction $\mathrm {\frac {E}{E_{1}}} ,$ qui suivrait $\mathrm {\frac {D}{D_{1}}}$ dans la suite des fractions principales, serait

$\mathrm {{\frac {\infty D+C}{\infty D_{1}+C_{1}}}={\frac {D}{D_{1}}}} \,;$