fractions décroissantes et plus grandes que ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {A+1}{1}},\quad {\frac {2A+1}{2}},\quad {\frac {3A+1}{3}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c13555125ea7cc287de712640d872e45533b2e)
![{\displaystyle {\begin{array}{lllll}\mathrm {\cfrac {\beta A+1}{\beta }} ,&\mathrm {\cfrac {B}{B_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {C+B}{C_{1}+B_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {2C+B}{2C_{1}+B_{1}}} ,&\ldots ,\\\mathrm {\cfrac {\delta C+B}{\delta C_{1}+B_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {D}{D_{1}}} ,&\mathrm {\cfrac {E+D}{E_{1}+D_{1}}} ,&\ldots ,&\mathrm {etc} .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6bf808e5233c72ef73e6356e72c6bab201231b9)
Si la quantité
est irrationnelle ou transcendante, les deux séries précédentes iront à l’infini, puisque la série des fractions
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},\quad {\frac {B}{B_{1}}},\quad {\frac {C}{C_{1}}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed5085986eb68607e9e2fa095ccea64f9e46bbf)
que nous nommerons dans la suite fractions principales, pour les distinguer des fractions intermédiaires, va d’elle-mêmeà l’infini (no 10).
Mais, si la quantité
est rationnelle et égale à une fraction quelconque
nous avons vu dans le numéro cité que la série dont il s’agit sera terminée, et que la dernière fraction de cette série sera la fraction même
donc cette fraction terminera aussi nécessairement une des deux séries ci-dessus, mais l’autre série pourra toujours aller à l’infini.
En effet, supposons que
soit le dernier dénominateur de la fraction continue ; alors
sera la dernière des fractions principales, et la série des fractions plus grandes que
sera terminée par cette même fraction
or l’autre série des fractions plus petites que
se trouvera naturellement arrêtée à la fraction
qui précède
mais, pour la continuer, il n’y a qu’à considérer que le dénominateur
qui devrait suivre le dernier dénominateur
sera
(no 3) ; de sorte que la fraction
qui suivrait
dans la suite des fractions principales, serait
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {\infty D+C}{\infty D_{1}+C_{1}}}={\frac {D}{D_{1}}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7362901b6b577d72ae24b5dfc1a35439a15bdc)