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une fonction qui dépend également des trois côtés $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ de manière qu’elle ne change pas en faisant entre ces quantités tels échanges qu’on voudra.

Donc, lorsqu’on a un triangle sphérique tracé sur la surface d’une sphère dont le rayon $r$ est très-grand, si l’on forme un triangle rectiligne dont les côtés aient la même longueur que ceux du triangle sphérique, les angles de celui-ci seront égaux aux angles correspondants du triangle rectiligne, augmentés chacun de la quantité ${\frac {\theta }{3r^{2}}},$ $\theta$ étant l’aire du triangle rectiligne, en ayant soin de réduire la valeur de cette quantité en angles, c’est-à-dire, en prenant pour unité l’angle qui répond à l’arc égal au rayon.

28. Si l’on ajoute ensemble les trois équations

$\mathrm {A=A} '+{\frac {\theta }{3r^{2}}},\quad \mathrm {B=B} '+{\frac {\theta }{3r^{2}}},\quad \mathrm {C=C} '+{\frac {\theta }{3r^{2}}},$

on a

$\mathrm {A+B+C=A'+B'+C'} +{\frac {\theta }{r^{2}}}\,;$

mais on sait que

$\mathrm {A'+B'+C'=2D} ,$

$\mathrm {D}$ étant l’angle droit ; donc on aura

${\frac {\theta }{r^{2}}}=\mathrm {A+B+C-2D} .$

D’où l’on peut conclure qu’en retranchant de chaque angle du triangle sphérique le tiers de l’excès de la somme de ses trois angles sur deux droits, on aura les trois angles d’un triangle rectiligne dont les côtés seront égaux en longueur à ceux du triangle sphérique. Ainsi l’on pourra traiter celui-ci comme un triangle rectiligne, et les résultats seront exacts aux quantités près de l’ordre ${\frac {1}{r^{4}}}.$

Ce beau théorème est dû à Legendre, qui l’a donné d’abord sans dé-