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En faisant ${\frac {1}{r}}=0,$ l’angle $\mathrm {A}$ devient l’angle opposé au côté $\alpha$ dans le triangle rectiligne dont $\alpha ,\beta ,\gamma$ seraient les côtés.

Désignons cet angle par $\mathrm {A} '\,;$ on aura donc

$\cos \mathrm {A} '={\frac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}{2\beta \gamma }},$

et de là

$\sin ^{2}\mathrm {A} '={\frac {2\alpha ^{2}\beta ^{2}+2\alpha ^{2}\gamma ^{2}+2\beta ^{2}\gamma ^{2}-\alpha ^{4}-\beta ^{4}-\gamma ^{4}}{4\beta ^{2}\gamma ^{2}}},$

comme on l’a vu ci-dessus (1 et 2) ; donc, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra

$\cos \mathrm {A} =\cos \mathrm {A} '-{\frac {\beta \gamma \sin ^{2}\mathrm {A} '}{2.3r^{2}}}\,;$

or, dans le triangle rectiligne dont $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont les côtés, il est visible que ${\frac {\beta \gamma \sin ^{2}\mathrm {A} '}{2}}$ en exprime l’aire. Donc, si l’on désigne cette aire par $\theta ,$ on aura

$\cos \mathrm {A} =\cos \mathrm {A} '-{\frac {\theta \sin \mathrm {A} '}{3r^{2}}},$

d’où il suit qu’on aura, aux quantités de l’ordre de ${\frac {1}{r^{4}}}$ près,

$\mathrm {A} =\mathrm {A} '+{\frac {\theta }{3r^{2}}}.$

Et, comme en changeant le côté $\alpha$ en $\beta$ ou $\gamma ,$ l’angle $\mathrm {A}$ se change en $\mathrm {B}$ ou $\mathrm {C} ,$ si l’on désigne de même par $\mathrm {B} '$ et $\mathrm {C} '$ les angles opposés aux côtés $\beta$ et $\gamma$ dans le triangle rectiligne, on aura également

${\begin{aligned}\mathrm {B} &=\mathrm {B} '+{\frac {\theta }{3r^{2}}},\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} '+{\frac {\theta }{3r^{2}}},\end{aligned}}$

puisque la quantité $\theta ,$ qui est égale à l’aire du triangle rectiligne est